Distribution uniforme d'une variable aléatoire

Question

Supposons qu'une boîte contienne une boule jaune et une boule bleue. Chaque fois qu'une balle est sélectionnée, une autre balle de la même couleur est placée dans la boîte. Supposer$20$les balles sont sélectionnées. Laisser$Y$être la variable aléatoire représentant le nombre de boules jaunes. Montre CA$Y$ est uniformément répartie avec la densité $f$ donné par $f(y) = P(Y = y) = \frac{1}{21}.$

Pour le cas d'une balle jaune, nous avons $$f(1) = \frac{1}2\cdot \frac{2}3\cdot \cdots \cdot \frac{20}{21} = \frac{1}{21}.$$Pour deux balles jaunes, il suffit de sélectionner une balle jaune une fois dans les vingt tirages. Si nous le sélectionnons la première fois, nous obtenons une probabilité de$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4} \cdots \cdot \frac{19}{21} = \frac{18}{20}\cdot \frac{1}{21}.$$Si nous ne le sélectionnons pas la première fois, mais que nous le sélectionnons la deuxième fois, la probabilité est la même. Je ne sais pas comment généraliser cette probabilité. Il peut être utile de considérer les invariants, mais dans mon cas, je ne suis pas sûr des probabilités qui seraient invariantes.

Answer 1

Le nombre $20$ ne devrait pas être très spécial alors prouvons-le pour $n$dessine. Laisser$P_n(y)$ être la probabilité qu'il y ait $y$ boules jaunes après $n$dessine. Nous prouverons par récurrence que$P_n(y)=\frac{1}{n+1}$ pour $y=1,\ldots,n+1$ et $0$autrement. Il est facile de vérifier que$P_1(1)=\frac{1}{2}$ et $P_2(2)=\frac{1}{2}$. Supposons maintenant qu'après$n$ dessine $P_n(y)=\frac{1}{n+1}$. Nous pouvons seulement avoir$y$ balles jaunes après le prochain tirage si nous avions $y$ balles auparavant et dessiner une balle bleue ou si nous avions $y-1$ balles auparavant et tirez une balle jaune (en supposant $y\neq 1$, puisque nous ne pouvons jamais avoir $0$boules jaunes, mais je vous laisse vérifier ce cas). Donc,$P_{n+1}(y)=P_n(y)\cdot P(B)+P_n(y-1)\cdot P(Y)$ où $B$ et $Y$ sont les événements de dessin d'une balle bleue ou jaune si le nombre de balles jaunes est $y$ ou $y-1$ après $n$dessine. Maintenant$P(B)=\frac{(n+2)-y}{n+2}$ depuis après $n$ dessine il y a $n+2$ balles et $P(Y)=\frac{y-1}{n+2}$. Mettre cela ensemble$$P_{n+1}(y)=\frac{1}{n+1}\frac{n+2 -y }{n+2}+\frac{1}{n+1}\frac{y-1}{n+2}=\frac{1}{n+2}$$ donc le résultat suit par induction.