Équation différentielle \ d'ordre supérieur

Question

J'ai besoin d'aide pour résoudre cette tâche, si quelqu'un avait un problème similaire, cela m'aiderait.

La tâche est la suivante: trouver la solution générale de l'équation différentielle

$$ y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$

Pour homogène j'obtiens:

$$y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}$$

J'ai un problème avec le particulier, j'ai essayé:

$$y=(A\sin^2x+B\cos^2x)e^{2x}\\y'=(2A\sin x \cos x + 2B \sin x \cos x) e^{2x} +(A\sin^2 x + B \cos ^2 x) 2e^{2x}\\y''=2e^{2x}(2A \sin x \cos x - 2B \sin x \cos x + A\sin^2 x +B \cos^2 x)$$

Je n'ai aucune idée si c'est correct?

Je ne sais pas quelle est la prochaine étape d'ici ...

Merci d'avance !

Answer 1

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 (x)$$ Depuis $r^2-r-2=(r+1)(r-2)$, laisser $y=e^{2x}\,z$ faire $$z''+3z'=\cos^2 (x)=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Réduction de commande $p=z'$ obtenir $$p'+3p=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Faire $p=q+\frac 16$ $$q'+3q=\frac 12 \cos(2 x)\implies q=c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$p=z'=\frac 16+c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$z=\frac 16 x +c_2 e^{-3 x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))+c_3$$ $$y=e^{2x}\,z=\frac 16 xe^{2x}+c_2 e^{- x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))e^{2x}+c_3e^{2x}$$ Simplifiez-le grâce à la factorisation.

Answer 2

Votre solution homogène est correcte.

Notez que $\cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$, donc la solution particulière doit être de la forme $$y_{p}(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos(2x)+Ce^{2x}\sin(2x).$$

En remplaçant, nous constatons que $A=\frac{1}{6}$, $B=-\frac{1}{26}$ et $C=\frac{3}{52}$.

---

$$y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)-2B\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)+2C\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2B\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}$$

et $$y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin\left(2x\right)+2\left(2C-2B\right)\cos\left(2x\right)+2A\right)$$ $$+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin\left(2x\right)+\left(2C+2B\right)\cos\left(2x\right)+2Ax+A\right)$$

Nous avons donc $$y''_p-y'_p-2y_p$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(4C-4B+4C+4B-2C-2B-2B)+\sin(2x)(-4C-4B+4C-4B-2C+2B-2C)+2A+4Ax+2A-2Ax-A-2Ax\big]$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(6C-4B)+\sin(2x)(-4C-6B)+3A\big]$$ $$=\frac{e^{2x}}{2}(1+\cos(2x)).$$

Nous avons donc $3A=\frac{1}{2}\implies A=\frac{1}{6}$, $6C-4B=\frac{1}{2}$ et $-4C-6B=0$ Qui donnent $C=\frac{3}{52}$ et $B=-\frac{1}{26}$.

Answer 3

Nous devons résoudre $$\text{ODE:}\quad \boxed{y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x)}$$ La solution générale sera la somme de la solution complémentaire et de la solution particulière, c'est $$\text{solution general=solution complementary+particular solution}$$Ses $$y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$$

Solution complémentaire: nous devons résoudre$$y''-y'-2y=0$$Laisser $y=e^{rx}$, nous avons donc $$(r^{2}-r-2)e^{rx}=0 \implies (r-2)(r-1)=0 \implies r=-1 \quad \vee \quad r=2$$. Donc, nous avons la solution d'ensemble fondamentale$\{e^{-x},e^{2x}\}$. Par conséquent$$\boxed{y_{c}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}}$$ où $c_{1},c_{2}$ sont des constantes.

Solution particulière: En utilisant la méthode des coefficients indéterminés, nous avons donc$$y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x) \iff y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ La solution particulière sera la somme des solutions particulières à $$y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$$ et $$y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ Maintenant, la solution particulière à $y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$ est de la forme $y_{p_{1}}(x)=x(a_{1}e^{2x})$ où $a_{1}e^{2x}$ a été multiplié par $x$ pour tenir compte de $e^{2x}$ dans la solution complémentaire.

Et, la solution particulière pour $y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$ est de la forme $y_{p_{2}}(x)=a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$. Maintenant, somme$y_{p_{1}}$ et $y_{p_{2}}$ obtenir $y_{p}$c'est pour dire $$y_{p}(x)=a_{1}xe^{2x}+a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$$

Résoudre les constantes inconnues $a_{1},a_{2}$ et $a_{3}$ nous avons $$a_{1}=\frac{1}{6}, \quad a_{2}=-\frac{1}{26} \quad \text{and} \quad a_{3}=\frac{3}{52}$$ Nous avons donc $$\boxed{y_{p}(x)=\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}$$ finalement $$\color{blue}{\boxed{y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}}$$où $c_{1}$ et $c_{2}$ sont des constantes.

Answer 4

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$ $$y''e^{-2x}-2y'e^{-2x} +y'e^{-2x}- 2ye^{-2x}=\cos^2 x$$ $$(y'e^{-2x})' +(ye^{-2x})'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\dfrac 12(\cos(2 x)+1)$$ Intégrez les deux côtés.

Answer 5

Indice :

Pour la solution particulière de $\;y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos^2x$, Je linéariserais d'abord $\cos^2x$: $$\mathrm e^{2x}\cos^2x=\frac12\mathrm e^{2x}(1+\cos 2x), $$puis appliquer le principe de superposition , à savoir déterminer une solution particulière pour

• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}$: comme $2$ est une racine simple de l'équation caractéristique, une solution particulière peut être trouvée sous la forme $$y_0(x)=c_0x\mathrm e^{2x}$$ pour un convenable $c_0$.
• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos 2x=\operatorname{Re}\bigl(\mathrm e^{2(1+i)x}\bigr)$, qui est la partie réelle d'une solution particulière lorsque le rhs est $\mathrm e^{2(1+i)x}$. Comme$2(1+i)$n'est pas une solution de l'équation caractéristique, cette solution particulière aura la forme$$y_1(x)=c_1\mathrm e^{2(1+i)x} $$Notez qu'à priori $c_1$ sera un nombre complexe, de sorte que vous devrez déterminer la partie réelle de $\:c_1\mathrm e^{2(1+i)x}$.

Vous trouverez facilement $c_0$ et $c_1$ par identification et en déduire une solution particulière pour l'équation d'origine comme $$\frac12(y_0(x)+\operatorname{Re}\bigl(y_1(x)\bigr).$$