Équivalence des déclarations d'orientation d'une variété

Question

(À partir de conférences) les déclarations suivantes sont équivalentes et, si elles sont valables, nous disons que la variété $M$ a une orientation:

une) $\exists$ une forme supérieure qui ne disparaît nulle part $\alpha$ sur $M$

b) Il existe un système de coordonnées de quartiers couvrant $M$ et de telle sorte que la matrice jacobienne correspondant au changement de corrdine où deux patchs se chevauchent, a un déterminant positif à chaque recouvrement.

c) L'espace des formes supérieures alternées $\Lambda ^N T^* M$, est isomorphe à $M \times \mathbb{R}$

J'ai du mal à me convaincre que $a) \implies b)$, et je pense qu'il me manque quelque chose de vraiment évident.

Si $\alpha = a(x_i)dx_1 \wedge ... \wedge dx_n$ dans un ensemble de coordonnées, puis sous une transformation de coordonnées

$\alpha = a(x_i) det(\frac{\partial x_i}{\partial x'_j}) dx'_1 \wedge ... \wedge dx'_n$.

Mais si le déterminant change de signe pour au moins un chevauchement de voisinages de coordonnées pour chaque couverture de variété, je ne vois pas pourquoi cela signifie que la forme supérieure doit disparaître. Puisque nous mettons les cartes sur la variété, pourquoi l '«observateur» ne peut-il pas simplement dire que son choix de coordonnées est tel que l'une des formes est positive dans un choix et négative dans un autre?

Answer 1

On dirait que vous essayez une preuve par contradiction.

Au lieu de cela, pourquoi ne pas essayer une preuve directe, comme ceci:

• Suppose que $\alpha$ est une forme supérieure qui disparaît nulle part sur $M$,
• Utilisation $\alpha$ construire un système approprié de coordonnées de quartiers couvrant $M$, et prouver que le système ainsi construit satisfait aux conditions de b).

Plutôt que de continuer avec une preuve complète, je terminerai simplement par un indice pour la construction.

Pour construire le système souhaité, considérez un voisinage arbitraire de coordonnées $$(x_1(p),x_2(p),...,x_m(p)), \quad u \in U \subset M $$ Comment peut-on utiliser $\alpha$ décider d'admettre ou non ce voisinage dans le système souhaité de voisinages coordonnés satisfaisant (b)?