espace de boucle d'un complexe CW fini

Question

Laisser $X$ être un complexe CW pointu connecté fini et $H_{\ast}(\Omega X)$ l'homologie intégrale de l'espace de boucle sur $X$. Les groupes d'homologie sont-ils$H_{n}(\Omega X)$ groupes abéliens finis pour tout $n$ ?

Si la réponse est négative, quelles sont les conditions suffisantes à imposer $\pi_{1}(X)$ tels que les groupes d'homologie $H_{n}(\Omega X)$ se révèle être fini?

Mon objectif est de collecter différentes conditions suffisantes sur le groupe fondamental pour lequel une réponse positive vaut.

Answer 1

Ceci est vrai pour le fini $\pi_1$ et faux pour l'infini $\pi_1$: Laisser $\widetilde{X}$ désignent la couverture universelle de $X$, ensuite $\Omega\widetilde{X}$ est le composant connecté à l'unité de $\Omega X$, et $\Omega X = \coprod_{\pi_1(X)} \Omega\widetilde{X}$. Donc si$\pi_1$ est infini, alors certainement $H_0(\Omega X)$ n'est pas une génération finie comme d'autres l'ont noté dans les commentaires, et en effet si $\Omega\widetilde{X}$ a un groupe d'homologie non trivial (ce qui est vrai sauf si $\widetilde{X}$ est contractible), un groupe d'homologie supérieur de $\Omega X$ sera une somme directe infinie de groupes abéliens non triviaux, donc pas non plus de génération finie.

Si $\pi_1$ est fini, par contre, $\widetilde{X}$est à nouveau un complexe CW fini, donc dans ce cas il suffit de regarder le cas simplement connecté. Pour un complexe CW fini simplement connecté$X$, $H_*(\Omega X)$ se compose en effet de groupes abéliens de génération finie, qui remontent à Serre (et se prouve facilement en utilisant la séquence spectrale qui porte son nom).