Espérance conditionnelle et variance conditionnelle

Question

J'essaie de résoudre un exercice pour mes devoirs et je suis coincé. La question est la suivante:

Supposons que vous ayez deux variables aléatoires dépendantes $X,Y$. L'espérance et la variance sont données par$E(Y|X=x)=5x$ et $var(Y|X=x)=2x+x^2$ et supposer que $E(X)=12$ et $Var(X)=4$. Calculez l'espérance et la variance de$Y$

J'ai réussi à calculer l'attente, mais malheureusement je suis coincé pour la variance. Voici ce que j'ai essayé:

$$Var(Y)= \int_{\mathbb{R}^2}(y-\mu_Y)^2 f_{X,Y}(x,y)dxdy$$ $$=\int_\mathbb{R}\big( \int_\mathbb{R} (y-\mu_Y)^2 f_{Y|X}(y|x)dy\big)f_X(x)dx.$$

Question : L'intégrale entre parenthèses peut-elle être exprimée en termes de$E(Y|X=x)=5x$ et $var(Y|X=x)=2x+x^2$? Si oui, alors je sais comment conclure le calcul. Cependant, je ne suis pas en mesure de le montrer. J'ai d'abord pensé que l'intégrale entre parenthèses était juste$Var(Y|X=x)$, mais ce n'est pas le cas. En fait, ce qui suit est vrai:

$$Var(Y|X=x)=\int_\mathbb{R} (y-E(Y|X=x))^2 f_{Y|X}(y|x)dy,$$ où $\mu_Y$ est connue (voir ci-dessous).

Remarque: Pour être complet, j'écris le calcul de l'espérance, car je suppose que celui de la variance doit être similaire.

$$E(Y)=\int_{\mathbb{R}^2}y f_{X,Y}(x,y)dxdy=\int_\mathbb{R}\big( \int_\mathbb{R} y f_{Y|X}(y|x)dy\big)f_X(x)dx=\int_\mathbb{R}E(Y|X=x) f^X(x) dx=\int_\mathbb{R}5xf^X(x)dx=5E(X).$$

Dans la troisième équation, j'ai utilisé la définition de l'espérance conditionnelle, et dans la dernière la définition de l'espérance de $X$.

Answer 1

Nous pouvons écrire: $$\mathbb E[Y\mid X]=5X\text{ and }\mathsf{Var}[Y\mid X]=2X+X^2$$

Ensuite, il y a deux belles égalités:$$\mathbb EY=\mathbb E[\mathbb E[Y\mid X]]$$ et:$$\mathsf{Var}Y=\mathsf{Var}(\mathbb E[X\mid Y])+\mathbb E(\mathsf{Var}[Y\mid X])$$

Jetez un œil ici pour la variance conditionnelle.

Answer 2

Comme c'est un devoir, je ne peux pas vous montrer la solution complète.

Première demande:

$$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X=x]]=\mathbb{E}[5x]=5\mathbb{E}[X]=60$$

C'est la bonne manière de trouver la solution: considérant maintenant que

$$\mathbb{V}[Y]=\mathbb{E}[Y^2]-\mathbb{E}^2[Y]$$

... Je pense que vous pouvez terminer vos devoirs sans "verser trop de sang" .