Est-ce que $U^c \subseteq B$ implique $B^c \subseteq U$?

Question

Supposer $U, B$ sont tous deux des sous-ensembles de $X$ et je veux savoir si $U^c \subseteq B$ implique $B^c \subseteq U$. Il semble que le cas soit vrai car j'ai dessiné quelques diagrammes de Venn et cela semble tenir, mais je ne suis pas sûr que ce soit le cas car je pense qu'il pourrait y avoir des contre-exemples. Quelqu'un voudrait-il me donner des idées? Merci!

Answer 1

En bref: si $x\in B^c$ puis $x\notin B$, donc $x\notin U^c$, Par conséquent $x\in U$.

Answer 2

Si $x \in B^\complement$. Je prétends qu'en effet$x \in U$ car

si $x \notin U$ puis $x \in U^\complement \subseteq B$ donc $x \in B$ contredire $x \in B^\complement$.

Donc, l'inclusion tient. Vous pouvez également utiliser le fait logique

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$ appliqué à $p:= (x \in B^\complement)$ et $q:= (x \in U)$.