Est-ce une solution des équations d'Einstein?
Prenez un espace infini. $\mathbb{R}^3$ Ensuite, coupez une sphère (une boule de 3) et jetez-la.
Vous avez maintenant $\mathbb{R}^3\backslash B_3$.
Maintenant, prenez chaque point sur la surface du trou et identifiez-le avec son point antipodal sur $S_2$. C'est donc comme un auto-trou de ver.
Vous avez maintenant un espace avec un défaut topologique qui semble persister éternellement.
Je me demande si cette topologie est cohérente avec les équations d'Einstein de la relativité générale?
Je suppose que la question est: peut-il y avoir une telle solution qui soit Ricci-flat? Ou peut-il exister dans un univers avec une constante cosmologique non nulle?
Réponses
… [Si] cette topologie est cohérente avec les équations d'Einstein de la relativité générale? … [C] y a-t-il une telle solution qui est Ricci-flat?
Réponse courte: Oui. La solution plate de Ricci résultante est connue sous le nom de$\mathbb{RP}^3$ geon, et est un $\mathbb{Z}_2$quotient de l'extension Kruskal – Szekeres de l'espace-temps de Schwarzschild. Bien que la topologie spatiale non triviale soit cachée à l'observateur extérieur derrière l'horizon du trou noir, cet espace-temps et ses diverses généralisations servent d'exemples importants mais simples pour diverses branches de la relativité générale. Par exemple, les corrélations dans l'effet Hawking-Unruh sont affectées par les caractéristiques topologiques d'un tel espace-temps.
Réponse longue : tout d'abord, notons que la topologie en elle-même ne spécifie pas une solution de relativité générale. Nous pouvons essayer de transformer cette variété en un espace - temps en utilisant la métrique euclidienne sur$\mathbb{R}^3$puis en ajoutant du temps sans aucune dilatation du temps dépendant de la position (cela en ferait un espace-temps ultrastatique). En conséquence, il y aurait$\delta$-comme les singularités de la courbure et des tenseurs de Ricci et du scalaire de Ricci sur le $\mathbb{RP}^2$surface, où la coupe et les identifications ont été effectuées. Le plus facilement cela pourrait être vu en sondant cet espace-temps avec des congruences géodésiques, par exemple une congruence de géodésiques radiales entrantes. Après avoir traversé la surface, les géodésiques deviennent sortantes et l'expansion scalaire de cette congruence change de signe. Par l' équation de Raychaudhuri, cela signifie qu'une certaine contraction du tenseur de Ricci a un$\delta$-comme singularité.
Afin de créer un espace-temps plat de Ricci approprié $(\mathscr{M},g)$ avec une hypersurface spatiale $\mathscr{S}$, une 3-variété d'une topologie donnée, nous devons fournir $\mathscr{S}$ avec un Riemannien 3-métrique $\gamma$ et une deuxième forme fondamentale $K$(tenseur de courbure extrinsèque). Le triple$(\mathscr{S},\gamma, K)$ servirait de données initiales dans le problème de Cauchy pour les équations de champ d'Einstein qui détermineraient la métrique de Lorentz $g$. La métrique spatiale$\gamma$ et tenseur $K$ doit satisfaire un ensemble d'équations de contraintes: $$ R^{(3)}=|K|^2−(\mathrm{tr}_\gamma K )^2 + 2\rho , $$ $$ D^i(K_{ij}−\mathrm{tr}_\gamma K \gamma_{ij}) =J_j. $$ où $\rho=\frac{8πG}{c^4}T_{μν}n^μn^ν$ est la densité d'énergie de la matière sur $\mathcal{S}$ et $J_j=\frac{8πG}{c^4} T_{μj}n^μ$ le vecteur d'élan de la matière, avec $n^μ$ étant l'unité normale à $\mathscr{S}$ dans $(\mathscr{M},g)$. En recherchant une solution Ricci-flat, nous devons définir$\rho=0$, $J=0$. Nous restreignons davantage notre attention aux données initiales symétriques dans le temps en exigeant que$K_{ij}=0$, ce qui signifie que $\mathscr{S}$ serait la tranche de temps zéro $t=0$ d'un espace-temps $\mathscr{M}$ invariant sous remplacement $t\to -t$. Les équations de contraintes vectorielles sont alors satisfaites de manière triviale et la contrainte scalaire signifie que la courbure scalaire de 3-métrique doit être nulle. Ignorant un instant la «chirurgie» topologique, si l'on suppose une symétrie sphérique et une planéité asymptotique ($\gamma_{ij}=(1+\frac{M}{2r})^4 \delta_{ij}+O(r^{-2})$), la métrique est spécifiée uniquement par sa masse ADM $M$jusqu'aux transformations de difféomorphisme habituelles et est simplement la tranche de la solution de Schwarzschild à un temps de Schwarzschild constant, étendue au maximum dans la géométrie du pont Einstein – Rosen :
Ceci est un schéma d'intégration de $\theta=\pi/2$tranche de 3 collecteurs. Pour une géométrie spatiale complète, les cercles doivent être des sphères$S^2$.
C'est sur cette 3-variété que nous faisons maintenant la chirurgie, en la coupant le long de la sphère $r=\mathrm{const}$, en supprimant l'une des «moitiés» et en factorisant la sphère frontière en $\mathbb{RP}^2$. Mais cet espace aurait encore$\delta$-comme des singularités à la surface de la coupe (l'argument de congruence géodésique d'en haut fonctionnerait toujours) à moins que la congruence des géodésiques radiales n'ait un scalaire d'expansion nul à la position de la coupe. Cela ne se produit que si nous coupons le long de la «gorge» du pont ER:
La variété 3 résultante a bien sûr la même topologie que la construction en OP (la topologie est celle de l'espace projectif réel en 3 dimensions $\mathbb{RP}^3$ moins un seul point (à l'infini spatial)) mais pas de singularités de courbure, et pourrait être considéré comme un quotient de $T=0$tranche de variété Kruskal – Szekeres étendue au maximum par un$\mathbb{Z}_2$facteur sous isométrie involutive de la carte antipodale :$$ X\to -X,\qquad \theta \to \pi - \theta, \qquad \phi \to \pi +\phi. $$ Depuis $\mathbb{Z}_2$est une isométrie des données initiales, sous l'évolution des équations de champ d'Einstein, la même symétrie persisterait, et donc tout l'espace-temps à 4 dimensions serait le quotient de la variété Kruskal – Szekeres par cela$\mathbb{Z}_2$isométrie. Diagramme de Penrose de l'espace-temps résultant, appelé$\mathbb{RP}^3$ geon, ressemble à ceci:
Ici, chaque point de la ligne pointillée correspond à $\mathbb{RP}^2$ variété de la coupe, tandis que les points intérieurs sont habituels $S^2$. La ligne rouge est notre$T=0$tranche de données initiale. On voit ça$\mathbb{RP}^2$ la surface part de la singularité passée, s'élargit mais n'émerge jamais derrière l'horizon et s'effondre dans la singularité future.
À quoi sert un tel espace-temps? Puisque la topologie d'un tel géon est présente à tout moment, une telle solution ne pourrait pas être formée par effondrement, mais pourrait éventuellement émerger par la création de paires quantiques. Cet espace-temps occupe une position intermédiaire entre les trous noirs stationnaires et dynamiques: ses traits dépendant du temps sont confinés derrière l'horizon. Il sert également d'illustration du théorème de censure topologique [$1$]: la relativité générale ne permet pas à un observateur de sonder la topologie de l'espace-temps (en supposant une condition d'énergie nulle): toute structure topologique s'effondre trop rapidement pour permettre à la lumière de la traverser. On pourrait aussi s'intéresser aux propriétés de la mécanique quantique d'un tel espace-temps: puisqu'il n'y a pas de seconde région extérieure de l'espace-temps Kruskal – Szekeres, il n'y a pas de moyen naturel d'arriver à la thaermalité en traçant sur le second extérieur, et on peut se demander quelles propriétés le L'effet Hawking-Unruh dans un tel espace-temps se manifesterait. Il s'avère qu'il y a un rayonnement thermique à la température habituelle de Hawking mais seulement pour un ensemble restreint d'observations [$2$].
Références
Friedman JL, Schleich K. et Witt DM (1993) Censure topologique , Phys. Rev. Lett. 71 1486–9; Erratum 1995 Phys. Rev. Lett. 75 1872, doi: 10.1103 / PhysRevLett.71.1486 , arXiv: gr-qc / 9305017 .
Louko, J. (2010) Trous noirs Geon et théorie quantique des champs , J. Phys. Conf. Ser. Vol. 222. N ° 012038, doi: 10.1088 / 1742-6596 / 222/1/012038 , arXiv: 1001.0124 .
Je pense que cet espace est un défaut conique d'ordre 2 au centre de $\mathbb{R}^3-\{0\}$. Cela signifie que tout chemin traversant un angle$2\pi$ à un rayon fixe a une longueur $4\pi r$.
Cela s'apparente aux coordonnées polaires 2D $ds^2 = 4r^2 d\theta^2 + dr^2$. En effet, la construction analogue est$\mathbb{R}^2$ avec le disque $B_2$enlevé et le cercle unitaire identifié de manière antipodale. La carte antipodale est juste$\theta \to \theta+\pi$ sur le cercle unité, et le résultat est les coordonnées radiales à 2 feuilles dont j'ai donné la métrique (avec $r=1$ l'origine de la géométrie, et $r<1$ ne fait pas partie de la géométrie).
Notez que la procédure de cotation n'affecte pas la "masse" de $\mathbb{R}^3$. Puisque l'équation d'Einstein est locale, une métrique plate et le vide peuvent y être choisis. Et à l'origine nous avons$\delta$ courbure de fonction et $\delta$ fonction matière à l'origine de cette courbure (cf espaces-temps coniques / chaînes cosmiques).
Votre espace est le bundle de lignes réelles tautologiques ${\cal O}$ plus de ${\mathbb RP}^2$. Je ne sais pas exactement quelle structure vous recherchez, mais il semble probable que si vous pouvez la définir sur${\mathbb RP}^2$alors il s'étendra de manière évidente à votre espace. Bien sûr${\mathbb RP}^2$ est équipé d'une métrique comme quotient de $S^2$, donc si tout ce que vous voulez est une métrique, vous avez terminé. (Pour étendre à${\cal O}$ utiliser qu'un bundle est localement un produit et il suffit de définir la métrique localement.)