Est $P(1)$ vrai?

Jan 08 2021

Je viens de découvrir cette fausse preuve par induction que tous les entiers positifs sont égaux à partir de The Mathematical Gazette :

Laisser $P(n)$ être la proposition:

"Si le maximum de deux entiers positifs est $n$ alors les nombres entiers sont égaux. "

Clairement $P(1)$est vrai. En admettant que$P(n)$ est vrai, supposons que $u$ et $v$ sont des entiers positifs tels que le maximum de $u$ et $v$ est $n + 1$. Puis le maximum de$u - 1$ et $v - 1$ est $n$, forçant $u - 1 = v - 1$ par la validité de $P(n)$. Donc,$u = v$.

Je vois ceci, presque un double: trouvez l'erreur dans le traitement suivant , et je le comprends, mais je me suis disputé avec quelqu'un. Ils disent que le cas de base$P(1)$n'est en fait pas vrai, car, soit les deux entiers sont déjà les mêmes, soit ils sont différents, et uniquement dans le cas où$P(1)$ C'est vrai, c'est là où ils doivent être déjà les mêmes, auquel cas nous n'avons rien prouvé.

Je dis que le cas particulier $n = 1$ force les nombres à être les mêmes, ce qui fait$P(1)$ vrai.

Qui a raison?

Réponses

5 subrosar Jan 08 2021 at 06:13

Le cas de base est correct. L'erreur est dans l'étape d'induction lorsque vous supposez que$u-1$ et $v-1$ sont des entiers positifs.