Estimateur impartial d'une distribution uniforme

Question

Laisser $X_1,...,X_n$ être iid rv $U(\theta,2\theta)$, avec $0<\theta<\infty$ distribution et ensemble

$$Y_1=\frac{n+1}{2 n+1} X_{(n)} $$

Prouve-le $Y_1$ est un estimateur sans biais de $\theta$.

Puisque j'ai besoin de le prouver $E(Y_1)-\theta = 0$ et $X_n$est le maximum. Le pdf de$X_n$ est égal à $n\theta^{-n} x^{n - 1}$, la valeur attendue de $Y_1$ est

$$E(Y_1)=\frac{n+1}{2 n+1} \text{n$\ theta $}^{-n} \int_{\theta }^{2 \theta } x^n \, dx$$ $$=\frac{2^{n+1} \text{n$\ theta $}-\text{n$\ theta $}}{2 n+1}$$

Mais avec ce résultat $E(Y_1)\neq\theta$. Je voudrais savoir s'il est nécessaire d'adopter une autre approche pour prouver que$Y_1$ est un estimateur non biaisé ou si j'ai fait une erreur dans ma tentative.

Answer 1

$$E[Y_1]=\frac{n(n+1)}{(2n+1)\theta^n}\int_{\theta}^{2\theta}t(t-\theta)^{n-1}dt=\dots=\theta$$

En réalité

$$F_{X_{(n)}}(t)=\Bigg(\frac{t-\theta}{\theta}\Bigg)^n$$

... le reste suit facilement

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Votre erreur est que vous avez envisagé la distribution d'un uniforme $U(0;\theta)$ et pas correctement $U(\theta;2\theta)$