Évaluation d'une fonction hypergéométrique généralisée

Question

Existe-t-il une identité connue qui peut simplifier l'évaluation suivante de la fonction hypergéométrique généralisée: $$_{2}F_{3}\left(1,n+\frac{1}{2};n+1,n+1,n+\frac{3}{2};1\right)$$ où $n\geq 2$est un entier positif. Par simplification, j'entends une expression fonctionnelle en termes de$n$, pas une somme en série. S'il existe une asymptotique connue pour les$n$, Cela m'intéressera aussi.

Answer 1

Pour une forme fermée en termes de rapports de fonctions gamma, vous avez besoin, pour ${}_pF_q,$p = q + 1. Une expansion asymptotique n'est cependant pas difficile à déduire.$$G(n)={}_2F_3(1,n-1/2;n,n,n+1/2;1)=1+\sum_{k=1}^\infty \tfrac{n-1/2}{n-1/2+k} \frac{1}{((n)_k)^2} .$$ La sommation n'oscille pas, alors développez la sommation comme $n \to \infty,$ $$G(n)\sim 1+ \sum_{k=1}^\infty x^k \big(1-k^2/n + O(n^{-2}) \big) \ , \ x=n^{-2}$$ $$ \sim \frac{1}{1-x}\big(1-\frac{1}{n} \frac{x(1+x)}{(1-x)^2} \big).$$

À titre d'exemple, la différence entre $G(n)$ (compensé par 1 par rapport au problème du proposant) et l'expansion asymptotique n'est que de 0,0056% pour $n$ aussi petit que 10.