Exemple de convergence uniforme mais pas normale

Question

Considérons une série de fonctions définie comme suit. Pour chaque$n\in \mathbb N, n\gt 1$, laisser $ f_n(x):= \frac{1} {n} $ si $x=\frac{1} {n}$ et $f_n(x)=0$ $x\neq\frac{1} {n}$. Prouver, en utilisant la définition de la convergence uniforme et le test M de Weierstrass, que$$\sum_{n=1}^{+\infty }f_n(x) $$ converge uniformément mais pas normalement dans $\mathbb R$. (Je suppose qu'une série est normalement convergente si$\sum_{n=1}^{+\infty } sup \{ \vert f_n(x) \vert \} $ converge)

Ma tentative.

Pour chaque $n$, $sup \{ \vert f_n(x) \vert; x \in \mathbb R \}= \frac{1} {n} $et la série harmonique diverge. Nous n'avons donc pas de convergence normale. Cependant, je ne sais pas comment faire avec la convergence uniforme. Cela peut sembler une question triviale, mais je me suis perdu avec les epsilons et les supremums. Je soupçonne qu'il converge vers la fonction 0, mais$ sup \{ \vert \sum_{k=1}^{n} f_k(x) \vert; x \in \mathbb R\} \ge 1=f_1(1)=\sum_{k=1}^{n} f_k(1)$, donc il n'a pas tendance à 0.

Une aide, en utilisant la définition ou l'epsilon?

Answer 1

Donné $\epsilon > 0$, notez qu'avec $m > n > N$ et $\frac{1}{N} < \epsilon$

$$\left|\sum_{j=n+1}^m f_j(x) \right| = \begin{cases}0, &x \neq \frac{1}{p} \, \text{ where }\,\, p \in \mathbb{N},\\ 0, &x = \frac{1}{p}\, \text{ where }\,\, p \in \mathbb{N}, p \not\in(n,m]\\ \frac{1}p, & x= \frac{1}{p} \, \text{ where }\,\, p \in \mathbb{N}, n < p \leqslant m \end{cases} $$

Depuis $\frac{1}{p} < \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \epsilon$, il s'ensuit que pour tous $m > n > N$ et tout $x \in \mathbb{R}$,

$$\left|\sum_{j=n+1}^m f_j(x) \right| < \epsilon$$

et nous avons une convergence uniforme de la série par le critère de Cauchy.

Answer 2

Ma première tentative s'est mélangée. Je cherchais la bonne somme, mais j'ai tiré la mauvaise conclusion. Je ne dois pas me sentir bien aujourd'hui, car c'est la deuxième réponse que j'ai ratée.

Laisser $$S=\left\{1/n\mid n\in \mathbb{Z}^+\right\}$$ Alors il est évident que la somme converge ponctuellement vers $$f(x)=\begin{cases}x,&x\in S\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$$ car pour chacun $x$, $f_k(x)\neq0$ pour au plus une valeur de $k$. Ensuite nous avons$$f(x)-\sum_{k=1}^nf_k(x)=\begin{cases}x,&x\in S, \frac1x>n\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$$

Pour tous $n>\frac1\varepsilon$, la différence ci-dessus est $<\varepsilon$, donc la convergence est uniforme.

En réponse à votre commentaire, notez que $$\left\lvert f(x)-\sum_{k=1}^nf_k(x)\right\rvert=\left\lvert\sum_{k=n+1}^nf_k(x)\right\rvert$$ et une convergence uniforme signifie que la dernière expression est uniformément petite.