Exemple de séquence qui n'est pas uniformément intégrable.

Question

Par définition une séquence $\{X_n\}_{n \ge 0}$ est uniformément intégrable si $\sup_n E[X_n \cdot \mathbb{I}_{\{X_n > a\}}] \to 0$ et $a \to \infty$.

Une définition équivalente est que 1) $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ et 2) $\forall \epsilon > 0, \exists \, \delta > 0$ tel que pour tous $n$, $E[X_n \cdot \mathbb{I}_A] < \epsilon$ pour tout événement $A$ tel que $P(A) < \delta$.

Je suis juste curieux - quelqu'un peut-il donner un exemple d'une séquence où $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ mais $\{X_n\}$n'est pas uniformément intégrable? Chaque séquence que j'ai essayé de créer semble être uniformément intégrable.

Merci.

Answer 1

Supposons que votre espace de probabilité est $([0,1],dx)$, avec $dx$ désignant la mesure Lesbegue.

Laisser $X_n=n 1_{[0,1/n]}$. ensuite$\mathbb{E}|X_n|=1$ pour chaque $n$ mais $(X_n)_ {n\in \mathbb{N}}$ n'est pas uniformément intégrable car $$ \mathbb{E}|X_n| \mathbb{I}_{|X_n|>a}=\mathbb{E}|X_n| $$ pour tous $n>a$.