Existe-t-il toujours une fonction $ f $ Pour qui $ Y - f ( X ) $ et $ X $ sont indépendants?
Laisser $ X $ et $ Y $ être de vraies variables aléatoires.
Existe-t-il toujours une fonction $ f $ Pour qui $ Y - f ( X ) $ et $ X $ sont indépendants?
J'ai essayé de prouver la déclaration, mais je n'ai pas pu le faire.
Si la déclaration est fausse, il doit exister des variables aléatoires $ X $ et $ Y $ tel que pour toute fonction $ f $, $ Y - f ( X ) $ et $ X $ne sont pas indépendants.
Mais je n'ai pas non plus trouvé une telle paire de variables aléatoires $ X $ et $ Y $.
J'apprécierais tout conseil ou indice!
Réponses
Non, mais il existe un $f(X)$ tels qu'ils ne sont pas corrélés.
Deux variables $X$ et $Y$ sont indépendants si la distribution de probabilité de $Y|X$ ne dépend pas de $X$. Considérer$Y|X \sim N(0, X^{2})$, puis $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ qui dépend toujours de $X$ pour toute fonction $f$.
Si nous définissons $E[f(X)]$ pour que $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, puis $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Par exemple, laissez$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ être linéaire.
Laisser $\Omega = \{a,b,c\}$ être un espace de probabilité avec trois résultats, chacun ayant une probabilité $1/3$. Laisser$X = 1_{\{a\}}$ et $Y = 1_{\{b\}}$. Vous pouvez vérifier que si$A,B$sont des événements indépendants dans cet espace, alors l'un d'entre eux doit avoir une probabilité 0 ou 1; par conséquent, toute variable aléatoire indépendante de$X$doit être constant. Mais$Y-f(X)$ ne peut jamais être constant, car il prendra nécessairement des valeurs différentes à $b$ et $c$.