Expécation et indépendance

Question

Supposons que nous ayons trois variables aléatoires indépendantes X, Y et Z où $X$ et $Y$ sont répartis de manière identique et $Z$a une distribution symétrique autour de zéro. Intuitivement, on croirait que
$$ \Pr(X\le Z |Y\le Z) = \Pr(X\le Z) $$en raison de l'indépendance. Cependant, je ne sais pas par où commencer pour le prouver. Si nous conditionnons$Z$, alors on se retrouve avec une intégrale qui n'est pas forcément simplifiée davantage: $$ \int_z\Pr(X\le z ,Y\le z) dP(z) = \int_z\Pr(X\le z)\Pr(Y\le z) dP(z) $$Des indices? Est-ce vrai du tout?

Answer 1

Ce n'est pas vrai en général, considérons le cas où $Y$est une constante. Dans ce cas, conditionner à l'événement qu'il soit inférieur à$Z$ vous donne des informations sur la valeur de $Z$.