Explication de la définition de limite formelle
J'ai essayé de comprendre la définition formelle de la limite, y compris les messages MSE, les notes d'autres universités, mon manuel de mathématiques, etc. Je n'arrive pas à bien comprendre son utilisation. J'obtiens que si pour chaque intervalle autour de x, nous pouvons trouver un f (x) dans un intervalle autour de f (x). Je comprends aussi en quelque sorte que si je fais le$|f(x)-L|<\epsilon$ sous une forme similaire à celle $|x-a|<\delta$ je peux obtenir $\delta(\epsilon)$. Cependant, je ne sais pas comment prouver que le deviné$L$est correct. Il semble que je remplace simplement$\delta(\epsilon)$ dans $|f(x)-L|<\epsilon$, qui semble que je répète le même pas en arrière? Comment cela contribue-t-il à la preuve?
Je m'excuse pour la question simple, mais je n'arrive pas à surmonter cela. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer dans un anglais simple de 5 ans comment la définition est utilisée à chaque étape du processus? Merci beaucoup pour votre aide.
Edit: faute de frappe Je m'excuse pour l'absence de question spécifique, comme user2661923 l'a gentiment suggéré. J'en ai 2 en ce moment. J'essaie en fait de prouver une limite infinie, qui m'a été lancée avant que mon conférencier n'ait enseigné la définition formelle. Ainsi, j'ai dû me pencher sur des questions de définition formelle là où la limite existe. C'est la question de la limite infinie:
$$\lim_{x\to 2^+}[\frac{1}{2-x}-\frac{3}{8-x^3}]$$
J'ai réussi à le faire et je suis resté coincé:
$$\lim_{x\to 2^+}\frac{(x+1)^2}{8-x^3}$$Je suis donc passé aux questions de définition formelles:
prouver que$$\lim_{x\to 3}(4x-5)=7$$
Je comprends jusqu'à: $$0<|x-3|<\delta$$ $$0<|(4x-5)-7|<\epsilon$$ $$|x-3|<\frac{\epsilon}{4}$$ Et ainsi $$\delta(\epsilon)=\frac{\epsilon}{4}$$Mais ensuite, je suis resté coincé en essayant de comprendre comment prouver que le L remplit ces conditions.
Encore une fois, merci beaucoup pour votre aide et vos suggestions.
Réponses
Pour prouver une limite $L$, vous devez résoudre l'équation logique suivante:
$$\forall\epsilon>0:\exists \delta>0:\forall x:0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon.$$
Dans le cas où $f(x)$ est inversible dans un certain intervalle autour de $x_0$, nous pouvons écrire
$$L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon$$ et assumant une fonction croissante,
$$f^{-1}(L-\epsilon)<x<f^{-1}(L+\epsilon)$$
ou
$$f^{-1}(L-\epsilon)-x_0<x-x_0<f^{-1}(L+\epsilon)-x_0.$$
À partir de là, il devrait être clair que tout $\delta$ tel que
$$\delta\le\min(x_0-f^{-1}(L-\epsilon), f^{-1}(L+\epsilon)-x_0)$$ peut faire.
Avec votre exemple, $f(x)=4x-5$, et $f^{-1}(y)=\dfrac{y+5}4$. Par conséquent
$$\delta\le\min\left(3-\dfrac{7-\epsilon+5}4,\dfrac{7+\epsilon+5}4-3\right)=\frac\epsilon4$$ marchera.
Comme vous pouvez le vérifier,
$$\forall\epsilon>0:\forall x:0<|x-3|<\frac\epsilon4\implies |4x-12|<\epsilon$$ comme prévu.
Dans le cas général, l'inéquation
$$|f(x)-L|<\epsilon$$ peut avoir des solutions dans $x$, et $\delta$ doit être tel que $(x_0-\delta,x_0+\delta)$est entièrement contenu dans l'ensemble de solutions, si possible . C'est votre tâche de résoudre l'inéquation. Un sous-intervalle ouvert de l'ensemble de solutions peut faire l'affaire, à condition qu'il contienne$x_0$.
Il semble que je remplace simplement $\delta(\epsilon)$ dans $|f(x)-L|<\epsilon$, qui semble que je répète le même pas en arrière?
Cela fait partie de la preuve réelle. Les calculs que vous faites avant de trouver un$\delta$ est un pré-travail qui n'a pas besoin d'être présenté.
Lors de la rédaction d'une preuve de limites, je trouve utile de commencer par $|f(x)-L|$ et essayez de prendre en compte $|x-a|,$ qui est plus tard remplacé par $\delta$. Le facteur$|x-a|$ est alors remplacé par $\delta,$ et je dois m'assurer que l'autre facteur ne croît pas trop vite, et trouver $\delta$ assez petit pour que le moins que la chaîne puisse se terminer par $<\epsilon$.
Exemple
Montre CA $\lim_{x\to 3} (4x-5) = 7$.
Pré-travail $$ |(4x-5)-7| = |4x-12| = 4|x-3| < 4\delta $$ Ici, il est clair qu'en prenant $\delta<\frac14 \epsilon$ nous pouvons continuer avec $$ < 4 \cdot \frac14 \epsilon = \epsilon . $$
Comment la preuve est écrite
Donné $\epsilon>0$ laisser $\delta=\frac14\epsilon.$ Puis quand $|x-3|<\delta$, nous avons $$ |(4x-5)-7| = |4x-12| = 4|x-3| < 4\delta = 4 \cdot \frac14 \epsilon = \epsilon. $$