Fibration projective sur une variété projective
Laisser $X$ être une variété complexe, $B$ être une variété projective complexe, considérer une fibration lisse $\pi:X\rightarrow B$ de telle sorte que toutes les fibres de $\pi$ sont des variétés projectives, alors est $X$une variété projective?
Comme nous le savons, si$X,Y$ sont des variétés projectives, alors le produit $X\times Y$est aussi une variété projective, voir par exemple Griffiths & Harris 《principes de géométrie algébrique》 p192. Et cet exemple peut être traité comme un cas particulier de la question posée ci-dessus, je doute que la fibration projective sur une variété projective soit aussi une variété projective, n'est-ce pas? Quelqu'un peut-il le prouver ou construire un contre-exemple? Tout commentaire est le bienvenu!
Ajouté: dans 《principes de géométrie algébrique》 p191-192, le corollaire après le théorème d'incorporation de Kodaira, Griffiths a donné une preuve que si $X,Y$ est projectif, alors $X \times Y$est également projectif. Sa méthode peut être énoncée comme suit: choisir la forme fermée, intégrale, positive (1,1)$\omega,\omega^\prime$ de $X,Y$, et $\pi:X\times Y\rightarrow X$, $\pi\prime:X\times Y\rightarrow Y$ sont les cartes de projection, alors $\pi^*\omega+\pi^{\prime*}\omega^\prime$ est à nouveau fermée, intégrale et positive de type (1,1), ce qui a prouvé que $X\times Y$est également projective par le théorème d'intégration de Kodaira. Je pense que la même méthode peut fonctionner aussi pour le cas de fibration projective? n'est-ce pas?
Réponses
Comme évoqué dans les commentaires, la surface Hopf originale $H$fournit un contre-exemple. Rappel,$H$ est défini comme étant le quotient $(\mathbb{C}^2\setminus\{(0,0)\})/\mathbb{Z}$ où le $\mathbb{Z}$ l'action est générée par la carte $(z_1, z_2) \mapsto (2z_1, 2z_2)$. La carte$\pi : H \to \mathbb{CP}^1$ donné par $[(z_1, z_2)] \mapsto [z_1, z_2]$est une submersion holomorphe avec des fibres tori complexes unidimensionnelles, comme cela est expliqué dans ma réponse à cette question similaire .
Notez que les tores complexes unidimensionnels et $\mathbb{CP}^1$ sont algébriques, mais $H$ n'est même pas Kahler car il est différent de $S^1\times S^3$. Topologiquement, nous avons le faisceau de fibres$S^1\times S^1 \to S^1\times S^3 \to S^2$ obtenu en croisant la fibration Hopf avec $S^1 \to S^1 \to *$.
On peut obtenir des exemples similaires dans des dimensions plus élevées, à savoir les variétés Calabi-Eckmann qui sont des variétés complexes$X$ difféomorphe à $S^{2n+1}\times S^{2m+1}$ et admettre une submersion holomorphe $X \to \mathbb{CP}^n\times\mathbb{CP}^m$avec des fibres tori complexes unidimensionnelles. Topologiquement, nous avons$S^1\times S^1 \to S^{2n+1}\times S^{2m+1} \to \mathbb{CP}^n\times\mathbb{CP}^m$, le produit des faisceaux de fibres standard $S^1 \to S^{2n+1} \to \mathbb{CP}^n$ et $S^1 \to S^{2m+1} \to \mathbb{CP}^m$.