Fonction équivalente de stabilisation de la variance

Question

J'ai lu le livre "Modèles linéaires généralisés avec exemples en R" de Dunn et Smyth.

Au chapitre 5, ils affirment:

Les transformations de stabilisation de la variance h (y) utilisées avec les modèles de régression linéaire sont à peu près équivalentes à l'ajustement d'un glm avec la fonction de variance V (μ) = 1 / h (μ) 2 et la fonction de liaison g (μ) = h (μ )

Alors, est-ce la même chose en utilisant les GLM avec leurs fonctions de lien respectives que de transformer Y en régression linéaire? Pouvez-vous expliquer cela en termes simples et pratiques à une personne qui n'a pas de très bonnes bases en théorie des statistiques comme moi?

Answer 1

Les détails sont principalement expliqués quelques pages plus tôt, au début de la sec 5.8, et cela renvoie à son tour au chapitre 3 (en particulier, voir sec 3.9, en particulier 3.9.2).

Considérer $\text{Var}(y)=\phi V(\mu)$ et la transformation $y^*=h(\mu)$. Quel effet cela a-t-il sur la variance, approximativement?

Dans des conditions appropriées, nous pouvons obtenir une approximation des moments des variables aléatoires transformées via l'expansion de Taylor .

En utilisant une approximation à un terme donnée sur ce lien Wikipédia:

$$\text{Var}(y^*)=\text{Var}\!\left(h(y)\right)\approx \left(h'(\mu _{y})\right)^{2}\sigma _{y}^{2}=\left(h'(\mu _{y})\right)^{2}.\phi V(\mu _{y})$$

Comment stabiliser la variance? Autrement dit, comment choisissons-nous$h$ faire $\text{Var}(y^*)$approximativement constant? En faisant$\left(h'(\mu _{y})\right)^{2}\propto V(\mu _{y})^{-1}$ $\ldots\:{(1)}$, de sorte que les deux fonctions de $\mu$ dans l'expression $\left(h'(\mu _{y})\right)^{2}\cdot\phi\cdot V(\mu _{y})$ annuler, de sorte que cette approximation de la variance est alors une fonction constante de $\mu$.

Revenons donc maintenant à la Sec 5.8. Quelle spécification GLM pour$y$ correspond approximativement (en termes de moyenne et de variance) à la transformation $y^*=h(y)$ puis ajuster une régression linéaire à variance constante?

Si $E(y^*)=E[h(y)]$ est linéaire dans $\eta = β_0 + β_1x_1 + ··· + β_px_p=X\beta$ (voir par exemple sec 1.6 entre les eqn 1.5 et 1.6 et la première équation en 4.6.1), alors la moyenne en fonction du $x$Les besoins doivent être tels que $g(\mu)=β_0 + β_1x_1 + ··· + β_px_p$ (voir sec 1.6 p 13)

Mais considérez maintenant juste le premier terme de l'expansion de Taylor concernant la moyenne; $E[h(y)] \approx h(\mu)$(voir la section sur le premier moment dans le lien Wikipédia); nous aurons donc besoin que la fonction de lien$g(\mu)\approx h(\mu)$.

Dans la régression transformée, nous avons également eu $\text{Var}(y^*)=c$, donc si $h$ était une transformation stabilisant la variance, puis $\text{Var}(y)\propto 1/h'(μ)^2$, tout comme dans eqn $(1)$ au dessus de.