Fonction hypergéométrique et intégrale elliptique

Question

Dans la page wiki , les intégrales elliptiques complètes du premier et du second type sont liées à la fonction hypergéométrique via:$$ K(k)=\frac{\pi}{2} \mathstrut_{2}F_{1}(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^{2})\\ E(k)=\frac{\pi}{2} \mathstrut_{2}F_{1}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^{2}) $$

Mais lors de l'évaluation de la commande suivante dans Mathematica (ver.12):

Pi/2 Hypergeometric2F1[1/2, 1/2, 1, k^2]

Je reçois: EllipticK[k^2]

La même chose se produit pour $ \mathstrut_{2}F_{1}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^{2})$ainsi que. Je reçois à la EllipticE[k^2]place de EllipticE[k].

Qu'est-ce que je rate ?

Answer 1

Ce qui vous manque, c'est que la page Wiki à laquelle vous faites référence utilise la convention de module pour les intégrales elliptiques, tandis que Mathematica utilise la convention de paramètre . J'avais parlé longuement à ce sujet ici , et voir aussi la documentation .

C'est pourquoi vous devez faire attention à n'utiliser aucune formule que vous voyez à partir d'autres références en général; vous devez vous assurer que la convention qu'il utilise est la même (ou peut être convertie) que celle utilisée par Mathematica .