Formulaires de connexion

Question

Je trouve le paragraphe suivant dans le livre des Manifolds et de la géométrie différentielle de Jeffrey M.Lee (section 12.2 Formulaires de connexion page 506):

Laisser $\pi : E \longrightarrow M $ être un bundle vectoriel de rang r avec une connexion $\nabla$. Rappelons qu'un choix d'un champ de trame local sur un ensemble ouvert$U \subset M $ équivaut à une banalisation de la restriction $\pi_U : {E|}_U \longrightarrow U . $ À savoir, si $ \phi = (\pi, \Phi)$ est une telle banalisation sur U, définissant alors $e_i(x)= \phi ^{-1}(x,e_i)$, où $(e_i)$ est la base standard de $\mathbb{F}^n$, nous avons un champ frame $(e_1,...,e_k).$Nous examinons maintenant l'expression pour une dérivée covariante donnée du point de vue d'un tel champ local. Il n'est pas difficile de voir que pour chaque champ de trame de ce type, il doit y avoir une matrice de formes 1$\omega = {(\omega_j^i)}_{1≤i,j≤r}$ tel que pour $X \in \Gamma(U,E)$ nous pouvons écrire $$\nabla_Xe_j =\sum\limits_{i=1}^k {\omega_j^i}(X)e_i$$

Ma question est de savoir comment prouver l'existence d'une telle matrice de 1-formes?

Answer 1

Nous savons que $\nabla_Xe_i$ est une section lisse de $E$, et travailler localement sur un cadre $(U,e_1,\ldots, e_k)$ comme tu es nous avons $$ \nabla_Xe_i=\sum_{j=1}^n \omega^j_i(X)e_j$$ où $\omega^j_i:\mathfrak{X}(U)\to C^\infty(U).$ Il est facile de voir en utilisant $\nabla_{aX+bY}=a\nabla_X+b\nabla_Y$ cette $\omega^j_i$ est linéaire, mais plus est vrai. $\omega^j_i$ est tensoriel parce que $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ de sorte que $\omega^j_i(fX)=f\omega^j_i(X)$. Par conséquent,$\omega^j_i$ est un lisse $(0,1)-$champ tenseur sur $U$. C'est le$(\omega_j^i)$ former un $k\times k$ tableau de lisse $1-$formes sur $U$.

Edit: Il s'agit de répondre à la question soulevée dans les commentaires.

Vous voulez exprimer la matrice $(\omega_j^i)_{i,j}$défini localement comme une section d'un faisceau d'endomorphismes. Il est possible de définir des formes différentielles à valeurs de faisceaux vectoriels. En fait, ce n'est pas si difficile. Dans une banalisation locale de$E$ donné par $(U,e_1,\ldots, e_r)$ une $E-$différentiel valorisé $k-$la forme est une expression de la forme $\eta=\eta^1\otimes e_1+\cdots +\eta^r\otimes e_r$ pour chaque $\eta^i$ une $k-$forme. Autrement dit, nous avons un$k-$forme devant chaque élément de cadre, de sorte que donné $X_1,\ldots, X_k$ champs de vecteurs sur le même quartier ouvert, $$ \eta(X_1,\ldots, X_k)=\sum_{i=1}^r \eta^i(X_1,\ldots,X_k)e_i$$ définit une section de $E$ plus de $U$. Avec tout cela étant dit, si$E$ est localement trivial avec $e_1,\ldots, e_r$ une trame locale, alors $\operatorname{End}(E)$ est également banalisé, avec un cadre donné par les matrices standard $E_{i,j}$ (tous les zéros sauf un $1$ dans le $(i,j)$position). C'est,$E_{i,j}$ représente l'envoi de la transformation $e_j\mapsto e_i$ et tous les autres $e_k\mapsto0$. Puis un$\operatorname{End}(E)-$estimé $k-$la forme est exactement une somme de la forme $$ \sum_{i,j}\underbrace{\eta^{i,j}}_{\in \Omega^k(U)}E_{i,j}= \begin{bmatrix} \eta^{1,1}&\cdots& \eta^{1,r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \eta^{r,1}&\cdots& \eta^{r,r} \end{bmatrix}.$$ Dans le cas où $k=1$, cela s'appelle un $\operatorname{End}(E)-$estimé $1-$forme. Notez qu'il s'agit d'un cas particulier de la construction générale des fibrés vectoriels, car$\operatorname{End}(E)$est un faisceau vectoriel. C'est ce que l'auteur appelle$\mathcal{A}^1(-,\operatorname{End}(E))$.