Généralisation des fonctions symétriques

Question

UNE $n$-fonction variable $f$ est une fonction symétrique si $$f(x_1,x_2, \ldots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$$ pour chaque permutation $\sigma \in S_n$. En particulier, si$f$ est un polynôme, alors $f$est un polynôme symétrique. Ces objets ont été largement étudiés.

Je me demande si la généralisation suivante a été étudiée. UNE$n^2$-fonction variable $f$ est un $S_n$-fonction symétrique si $$f(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n}, \ldots, x_{nn}) = f(x_{\sigma(1)\sigma(1)}, x_{\sigma(1)\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(1)\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(n)\sigma(n)})$$ pour chaque permutation $\sigma \in S_n$.

Je pense que de tels objets doivent avoir été étudiés car ils sont si naturels. Mais je ne connais pas les mots-clés et je n'ai pas trouvé la littérature.

Je suis très reconnaissant si quelqu'un pouvait fournir des informations à leur sujet. Merci d'avance.

Answer 1

Laisser $w\in S_n$ (le groupe symétrique) ont le type de cycle $\lambda =(\lambda_1,\dots, \lambda_\ell)\vdash n$, où $\ell=\ell(\lambda)$ est la longueur (nombre de parties différentes de zéro) de $\lambda$. Puis l'action induite de$w$ sur $[n]\times [n]$ (où $[n]=\{1,2,\dots,n\}$) a un énumérateur de cycle $$ \prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} z_{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}^{\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}. $$ Laisser $f_n(d)$ être la dimension de l'espace des polynômes complexes dans les variables $x_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, qui sont homogènes de degré $d$ et $G$-invariant. Puis par le théorème de Molien,$$ F_n(x):=\sum_{d\geq 0} f_n(d)x^d $$ $$ \ \ = \frac{1}{n!}\sum_{\lambda\vdash n} \frac{n!}{z_\lambda}\prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} \frac{1}{\left(1-x^{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}\right)^ {\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}}. $$ J'utilise la notation de fonction symétrique standard, donc $n!/z_\lambda$ est le nombre de permutations dans $S_n$ du type de cycle $\lambda$. Par exemple,$$ F_1(x) = \frac{1}{1-x} $$ $$ F_2(x) = \frac{1+x^2}{(1-x)^4(1+x)^2} $$ $$ F_3(x) = \frac{1+3x^2+10x^3+16x^4+12x^5+16x^6+10x^7+3x^8+x^{10}} {(1-x)^9(1+x)^4(1+x+x^2)^3}. $$ Addenda. La théorie des invariants des groupes finis, comme on peut la trouver ici , peut être utilisée pour obtenir des informations supplémentaires sur l'anneau$R$de polynômes invariants. Par exemple, si$S$ est le sous-ensemble de toutes les fonctions symétriques dans le $x_{ij}$alors $R$ est un libre de génération finie $S$-module de rang $n^2!/n!$.