Généralité du produit intérieur

Question

Un produit intérieur sur un espace vectoriel $V$ (sur le terrain $F$ ) est une fonction $V \times V \to F$, qui associe à chaque paire de vecteurs $\bar{x},\bar{y}$ de $V$ une quantité scalaire $\langle \bar{x},\bar{y}\rangle$et satisfait les propriétés suivantes: $$\langle \bar{x},\bar{x} \rangle>0$$

$$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\langle \bar{y}, \bar{x} \rangle$$

$$\langle a\bar{x}+b\bar{y},\bar{z}\rangle=a\langle \bar{x},\bar{z}\rangle+b\langle \bar{y},\bar{z}\rangle.$$

Considérez le sous-espace de toutes les fonctions continues sur $[a,b]$ ; $\Bbb{C}$. Maintenant, supposons que nous ayons une déclaration impliquant des produits internes que nous souhaitons prouver pour les vecteurs$\bar{x}, \bar{y} \in \Bbb{C}.$ Par exemple, disons que je choisis d'utiliser le produit interne suivant: $$\langle \bar{x},\bar{y}\rangle=\int_a^bx(t)y(t) dt.$$

Si la déclaration est vraie pour ce produit intérieur, est-ce également vrai pour tous les autres produits intérieurs sur$\Bbb{C}$?

Généralement, lorsque vous travaillez avec des produits intérieurs, il y a un certain choix quant au type de produit intérieur qui convient à cette situation particulière - mais quel impact ce choix peut-il avoir (le cas échéant)?

Answer 1

Non, une affirmation vraie pour un produit intérieur n'est pas nécessairement vraie pour un autre. Par exemple, vous pouvez utiliser un produit interne pour définir une longueur$$ \| x \| = \langle x,x \rangle^\frac12 $$

Sous le produit intérieur standard sur $\Bbb R$ (Défini par $(x, y) \mapsto xy$), nous avons $$ \| 2 \| = 2 $$par exemple. Mais sous un produit intérieur différent,$(x, y) \mapsto 2xy)$, nous avons $$ \| 2 \| = 4. $$ Cela peut sembler assez artificiel, mais il peut être difficile de séparer le artificiel de l'incontourné.