Générateurs de $S_4$

Question

Le groupe $S_4$ est généré par $\{(12), (1234)\}$.Maintenant quelque chose que je veux savoir, c'est que comment vais-je générer par un cycle d'ordre $4$ et tout cycle de commande $3$ et commander $2$.

Ma principale question est de trouver le nombre d'homomorphismes, et si $\varphi(1234) \to -1$ et $\varphi (12) \to -1$.

Alors comment vais-je en conclure que toute permutation étrange ira à $-1$ et tout ira même à $1$. (Il doit être montré par des calculs grossiers et non en utilisant des théorèmes d'homomorphisme).

J'ai vraiment besoin d'aide.

Answer 1

Toute permutation impaire $π$ doit être exprimable comme un mot dans $(12)$ et $(1234)$ de longueur impaire $n$, puisque les deux sont étranges. Donc$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, depuis $\varphi$ est un homomorphisme.

Answer 2

En utilisant une théorie des représentations (voir https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) J'ai travaillé, j'ai développé un programme python de traitement de chaînes pour multiplier les permutations. Petit à petit, j'ai augmenté la taille de notre sous-ensemble de groupes de travail; il existe une et une seule représentation standard.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

De là, vous pouvez `` décoller '' le reste $5$ transpositions et expliquer pourquoi, pour toute transposition $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$