Groupes finis / infinis

Question

Laquelle des affirmations suivantes est / sont vraies?

a) Il existe une infinité de groupes finis dans lesquels chaque élément non identitaire a un ordre $2$.

b) Il existe un groupe infini dans lequel chaque élément non identitaire a un ordre $2$.

c) Il existe un groupe infini dans lequel il y a des éléments d'ordre $n$ pour tous $n\in \Bbb N$.

d) Il existe une infinité de groupes infinis dans lesquels chaque élément de non-identité a un ordre fini.

Ma tentative: l'option 2 semble correcte car j'ai un exemple d'un tel groupe (l'ensemble de puissance des nombres naturels sous l'opération binaire de différence symétrique en est un exemple) mais je suis incapable de conclure quoi que ce soit sur les autres options.

À propos de l'option 1, il semble que c'est vrai en gardant à l'esprit $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$mais je suis toujours confus. Pour les deux dernières options, je n'ai aucune idée concluante que je peux appliquer ici. Veuillez guider.

Answer 1

(a) Pour $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ est un groupe fini dont chaque élément non trivial a un ordre $2$. Il existe donc une infinité de ces groupes.

(b) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ est le groupe souhaité.

(c) Vous pouvez considérer l'exemple $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. Puis pour chaque$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ est un élément d'ordre $n$ dans $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(d) Pour $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$est un groupe infini dont chaque élément non trivial a un ordre fini. Il existe donc une infinité de ces groupes.

Answer 2

S'il vous est plus facile de conceptualiser, vous pouvez considérer chaque élément comme fini, même si le groupe dans son ensemble est infini.

Par exemple, pour (2), nous pouvons prendre chaque élément de $G$ être une suite finie constituée de $1$ et $-1$ et se terminant par $-1$(l'identité est la séquence nulle). Trouver$ab$, nous multiplions les valeurs de $a$ et $b$ par paires, puis terminez la séquence au dernier $-1$. S'ils sont de longueurs différentes, nous ajoutons$1$ à la plus courte assez de fois pour leur donner la même longueur, puis multipliez. $G$ est infini parce que bien que chaque élément individuel ait une longueur finie, il y a un nombre infini de ces longueurs finies.

Une stratégie similaire fonctionne pour (3) et (4). Pour (3), nous prenons des suites finies dans lesquelles le$n$La valeur est un élément de $\mathbb Z_n$, sauf si la séquence est de longueur 1, la dernière valeur n'est pas $1$. Pour (4), nous prenons simplement des variations sur (3). Par exemple, nous pouvons démarrer la séquence à$\mathbb Z_k$. Ou prendre$k$ copies de (3), etc.