Identité intégrale du chemin

Question

Je lis les Méthodes de terrain de fond dans les conférences EPFL sur la GR en tant qu'EFT . Les auteurs utilisent cette identité sur la page 23, équation (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$qui est juste une intégrale gaussienne standard (chemin). Mais ils continuent à utiliser ceci:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$ce que je ne comprends pas entièrement. Est-ce que cela utilise le$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? Si oui, pourquoi y a-t-il une intégrale dans le$\exp$ - ne devrait-il pas y avoir une fonction delta correspondante pour «l'annuler»?

Answer 1

1. Oui OP a raison: les cours utilisent l'intégration de chemin gaussien et l'identité$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$en éq. (174).

2. Ensuite, les cours utilisent la relation d'exhaustivité $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ et $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$en éq. (174).

3. La trace survivante sur le RHS du dernier eq. (174) pourrait par exemple être une trace d'arôme, et indique que la trace dans l'éq. (iii) n'est qu'une trace partielle .

Answer 2

Oui, vous avez raison - l'identité du logarithme déterminant a été utilisée ci-dessus. Quant à l'exponentielle, ce qui suit (extrait du livre Field Quantization de Greiner, Reinhardt, chapitre 11, page n ° 353) a été utilisé -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

La preuve de ce qui précède y est également donnée. le$2\pi$Les s sont très probablement déjà absorbés dans la constante qui l'accompagne. L'expression donnée dans votre question est (très probablement) une intégrale d'action dans le formalisme de Feynman (intégrale de chemin) et c'est pourquoi le$-i$ est là - le nœud du formalisme de Feynman est que l'action peut être écrite comme $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. À votre santé!