Infimum du jeu de partitions

Question

Laisser $A\neq \varnothing$ et dénoté par $\operatorname{Part}(A)$ l'ensemble des partitions de $A$. Pour$S,S' \in\operatorname{Part}(A),$ nous fixons $$ S\leq S' :\!\!\iff \forall C \in S: \exists C'\in S': C\subseteq C'. $$

Laisser $T\subseteq \operatorname{Part}(A)$. Montre CA$T$ a un minimum par rapport à $\leq$.

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Je voudrais vraiment montrer que $$ \inf T = \left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : \forall S \in T, C_S\in S\right\}. $$

Suis-je autorisé à écrire ceci sans utiliser l'Axiom of Choice?

Sinon, quel autre moyen existe-t-il pour prouver l'existence de $\inf T$, voire pas du tout?

Answer 1

CROQUIS: pour chaque $S\in\operatorname{Part}(A)$ et $a\in A$ laisser $[a]_S$ faire partie de $S$ cela contient $a$. Observe ceci$S\le S'$ iff $[a]_S\subseteq[a]_{S'}$ pour chaque $a\in A$. Donné$T\subseteq\operatorname{Part}(A)$, pour chaque $a\in A$ laisser $C_a=\bigcap_{S\in T}[a]_S$, et laissez $C=\{C_a:a\in A\}$.

• Montre CA $C\in\operatorname{Part}(A)$. Il est clair que$\bigcup C=A$, alors vous devez juste montrer que si $a,b\in A$, et $C_a\ne C_b$, puis $C_a\cap C_b=\varnothing$.

Clairement $C_a\subseteq[a]_S$ pour chaque $S\in T$, donc à ce stade, vous pouvez conclure que $C\le S$ pour chaque $S\in T$.

• Alors montrez que si $L$ est une borne inférieure pour $T$, puis $L\le C$. Vous pouvez le faire en montrant que si$L$ est une borne inférieure pour $T$, alors il doit être vrai que $[a]_L\subseteq C_a$ pour chaque $a\in A$.

Rien de tout cela n'exige l'axiome du choix.

Answer 2

Laisser $X=\left\{\bigcap_{S\in T} C_S\neq \varnothing : C_S\in S\right\}.$ Observe ceci $X\in\operatorname{Part}(A)$.

Tout d'abord, nous montrons que $X\le S$, pour tous $S\in T$. Laisser$L\in X$, puis $L=\bigcap_{S\in T} C_S$, avec $C_S\in S$. Évidemment,$L\subseteq C_S$ pour tous $S\in T$, cela signifie que $X\le S$ pour tous $S\in T$. Alors$X$ est une borne inférieure.

Maintenant nous montrons que $X$ est la plus grande borne inférieure, c'est-à-dire pour tous $Y\in\operatorname{Part}(A)$ tel que $Y\le S$ pour tous $S\in T$, $Y\le X$. Supposer$Y$ est un tel élément, et laissez $M\in Y$. Maintenant, parce que$Y\le S$, pour tous $S\in T$, nous avons $M\subseteq C_S$, pour certains $C_S\in S$, pour tous $S\in T$. Évidemment$M\subseteq\bigcap_{S\in T}C_S$, et $\bigcap_{S\in T}C_S\in X$. Alors$Y\le X$, et $X$ est le minimum de $T\subseteq\operatorname{Part}(A)$.