Intégrale de $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Laisser $1 \leq p < \infty$ et laissez $d$être un entier positif. Je veux montrer ça$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ En raison de $L^p$norme, l'intégrale n'est pas radialement symétrique. Si je convertis en coordonnées sphériques, je me retrouve avec$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ où $\sigma$est la mesure sphérique. Comment dois-je procéder à partir d'ici? Ou comment devrais-je calculer cette intégrale? J'apprécierais des calculs détaillés!

Answer 1

Une approche simple consiste à voir que, pour tout $f$ telle que l'intégrale sur la LHS ci-dessous existe, nous avons $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ où $K_{p,d}$ ne dépend pas de $f$ (disons, nous substituons $x=tg(y)$ où $x=g(y)$ est une paramétrisation de $\|x\|_p=1$; le jacobien d'une telle substitution est de la forme$t^{d-1}h(y)$ avec une certaine $h$ ne dépendant pas de $t$).

Trouver $K_{p,d}$, nous choisissons $f$de sorte que les deux côtés de \ eqref {maineq} soient faciles à calculer. Prendre$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ de sorte que $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Pour avoir la réponse, il reste à mettre$f(t)=e^{-t}$ dans \ eqref {maineq}.