Intégration Rieman, cartographie discontinue

Question

Prouver $f\in\mathcal{R}$, quand $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, tel que $f(x)=x$ quand $x \neq 1$, et $f(x)=-1$, quand $x=1$. Donc$f$ présente une discontinuité à $1$.

Laisser $P$ être une partition de $[0,2]$, tel que $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

Avec cette partition, nous ne considérons que les sous-intervalles, qui se trouvent à gauche ou à droite de $1$. C'est parce que le sous-intervalle$\Delta x_i$, qui contient le point de discontinuité, n'a pas de supremum $M_i$correspondant. Plutôt,$M_i$ est arbitrairement proche de $1$ et c'est un gros casse-tête en termes de preuve.

Voici la preuve réelle. Laisser$P$être tel que ci-dessus. ensuite$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

et dans ce cas $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. Est-ce correct?

Answer 1

Vous avez choisi une partition $P$ avec des points

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

Dans ce cas,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

qui a tendance à $0$ comme $n$ tend à $\infty$.

Par conséquent, pour tout $\epsilon > 0$ on peut trouver une partition telle que la différence entre les sommes supérieure et inférieure soit inférieure à $\epsilon$, prouvant que $f$ est intégrable par le critère de Riemann.