Intéressants «épimorphismes» de $E_\infty$-ring spectres

Question

$\newcommand{\Mod}{\mathbf{Mod}} \newcommand{\map}{\mathrm{map}_{E_\infty-A}}$ Supposer $i:A\to B$ est une carte de $E_\infty$-ring spectres. Il induit un foncteur de$\infty$-catégories $\Mod_B\to\Mod_A$ par restriction des scalaires.

Une question raisonnable est de se demander quand cela est pleinement fidèle; en étudiant le compte de la restriction-extension de l'adjonction scalaire, il est assez facile de vérifier que c'est le cas si et seulement$B\otimes_A B\to B$ (la carte de «multiplication») est une équivalence.

En étudiant ses sections, si je ne me trompe pas, on vérifie que c'est le cas si et seulement si les deux inclusions $i_0,i_1: B\to B\otimes_A B$ sont équivalentes aux cartes de $E_\infty$-$A$-algèbres.

Pour cela, il suffit que $A\to B$ être un «épimorphisme» de $E_\infty$-$A$-algebras (et je pense que c'est en fait équivalent), c'est-à-dire que $\map(B,-)\to \map(A,-)$être une inclusion de composants; puisque$\map(A,-) \simeq *$, cela revient à dire que $\map(B,C)$ est vide ou contractable pour tous $C$.

Par exemple, cela se produit si $B$ est une localisation de $A$ à un certain ensemble de classes $S\subset \pi_*(A)$ (par exemple $\mathbb{S\to Q, Z\to Q}, ku\to KU,$ etc.)

Ma question est:

Y a-t-il des cas intéressants où cela se produit mais ce n'est pas une localisation dans le sens ci-dessus?

dans le $1$-cas catégorique, cette question a été posée sur les épimorphismes d'anneaux commutatifs (pour lesquels$\Mod_B\to \Mod_A$ est pleinement fidèle si et seulement si $A\to B$ est un épimorphisme), et il existe des exemples qui ne sont ni des quotients ni des localisations.

Ici, les quotients ne satisfont généralement pas cette propriété, car "$x=0$"devient une structure supplémentaire (par exemple $\mathbb F_p\otimes_\mathbb Z\mathbb F_p \simeq \mathbb F_p[\epsilon], |\epsilon|=1$ comme $E_1$-algebras), il semble donc raisonnable de se demander à quoi peuvent ressembler les «épimorphismes» dans ce contexte.

Answer 1

Si $A$ est un $E_\infty$ spectre en anneau et $i : A \to B$ est une carte de $A_\infty = E_1$ spectres en anneau tels que la multiplication $\mu : B \wedge_A B^{op} \to B$ est une équivalence, alors $B \simeq LA$ où $L$ est une localisation de Bousfield fracassante sur la catégorie de $A$-modules. En particulier,$B$ sera $E_\infty$ et $i$ est un $E_\infty$carte. Prise$A = S$ et $L = L_n$ être la localisation de Bousfield par rapport à la théorie de Johnson-Wilson $E(n)$, pour $0 < n < \infty$, donne des exemples qui ne sont donnés par la localisation algébrique dans aucun ensemble $S$ de cours dans $\pi_*(A)$. L'affaire$n=1$ correspond à la localisation en ($p$-local) topologique $K$-théorie, avec $B = L_1 S$ étroitement lié à l'image-de-$J$spectre. Voir la définition 1.18 de Ravenel's 1984 Amer. J. Math. article pour la notion de localisation fracassante, et la proposition 9.3.3 dans mon mémoire AMS pour la relation déclarée avec les "smashing maps".