Interprétation mathématique CNOT
J'avais l'habitude de penser que CNOT inverse les amplitudes du qubit cible avec la possibilité de $b^2$ où $b$ est le $|1\rangle$amplitude du qubit de contrôle. Cela signifie que l'état final (après CNOT) du qubit cible sera:$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ (l'intuition est qu'avec la probabilité $a^2$ il n'y a pas de retournement, et avec probabilité $b^2$flip se produit) Mais en fait, après deux applications séquentielles d'une telle formule sur le qubit cible, un tel qubit ne finira pas à l'état initial. Donc, soit l'interprétation supérieure est fausse, soit j'ai fait une erreur de calcul quelque part. Si mon interprétation est incorrecte, pouvez-vous en fournir une correcte? S'il est correct, aidez-moi s'il vous plaît à le dériver en termes de probabilité et à comprendre comment la matrice unitaire CNOT le fait fonctionner.
Réponses
Pour une seule opération CNOT, l'approche la plus simple consiste à penser en termes de logique booléenne. Mathématiquement, cela est généralement représenté par l'addition modulaire, ce qui donne l'action de CNOT comme$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ où $\vert A, B \rangle$ est le produit tenseur de $\vert A \rangle$ et $\vert B \rangle$, et $\oplus$ is addition mod 2. Si cela vous semble étranger, écrivez simplement le $2 \times 2$table de vérité et vous verrez qu'il n'y a rien de compliqué ici (sauf peut-être une notation inconnue). C'est aussi facile de voir que$A \oplus A \oplus B = B$, donnant le résultat attendu après application séquentielle.
Une autre approche consiste à utiliser les outils de l'algèbre linéaire et à représenter CNOT comme une transformation unitaire. Puisque CNOT est une opération à deux qubits, la dimension de la transformation est$2^2=4$, donnant $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ Cela vaut également la peine de travailler à la main s'il y a une confusion quant à la raison pour laquelle cela fonctionne, en notant que $U_{CNOT}{}^2=I$.
L'une des hypothèses problématiques implicites dans l'équation OP est que $\vert A \rangle$ et $\vert B \rangle$sont séparables après CNOT, ce qui n'est généralement pas vrai. En d'autres termes, si$\vert A \rangle$ et $\vert B \rangle$sont intriqués après CNOT, ils ne peuvent plus être représentés comme une combinaison linéaire d'états purs. À ce stade, les matrices de densité deviennent pertinentes pour éviter de traiter des vecteurs exponentiellement grands après une série de portes multi-qubit.
Modifier en réponse au commentaire:
Poussée à sa fin logique, votre interprétation conduit à une corrélation classique entre les résultats de mesure des deux états de qubit. Les expériences de Bell et CHSH ont montré hors de tout doute que les états de qubit intriqués ne sont pas classiquement corrélés.
Donc, au moins dans les cas où CNOT crée un enchevêtrement, votre interprétation est incompatible avec l'expérience. Malheureusement, après un siècle de débats sur le sujet, on ne sait toujours pas quelle est la bonne interprétation (ou même si une telle interprétation existe). Plus malheureusement encore, il existe de nombreuses interprétations plausibles compatibles avec l'expérience.