Isomorphisme de $S^1$.

Question

Définir $S^1 = \{ z \in \mathbb{C^*} \: : \: |z| = 1 \}$. Ma question est, existe-t-il une bague$R$ tel que $(R, + )$ est isomorphe à $S^1$? Mon intuition dit non, mais comment pourrais-je le montrer.

Answer 1

La réponse est non: $S^1$ est divisible, c'est-à-dire pour tout $x\in S^1$ et n'importe quel $n\in \mathbb Z$, il y a $y$ avec $y^n = x$. Si nous écrivons$S^1$ additivement, cela dit $ny = x$.

En particulier, si $e$ est l'unité multiplicative d'une structure en anneau sur $S^1$, $e$ est divisible, ce qui implique notamment que $n\cdot e$ est inversible pour chaque $n$: laisser $y$ satisfaire $n\cdot y =e$, puis $e= n\cdot y = (n\cdot e)y$.

En particulier, si $n\cdot x = 0$, puis $(n\cdot e) x= 0$, pour que $x=0$: cela impliquerait $S^1$ est sans torsion, ce qui n'est pas le cas.

Answer 2

Ce n'est pas une réponse à la question . Ici, je vais répondre à la question suivante. Existe-t-il une structure en anneau unitaire sur$(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$ suivant la section des commentaires .

Supposons qu'il y ait une autre opération $\bullet$ tel que $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$ devient une bague avec $\bullet$-identité $e\in\Bbb R/\Bbb Z$ tel que nous avons $k\in \Bbb N$ avec $ 0=e+...+e(k$-times addition$)$, où $ 0$ est l'identité additive de $(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$. Maintenant, pour tout$x\in\Bbb R/\Bbb Z$ nous avons $$x+...+x=(e\bullet x)+...+(e\bullet x)=(e+...+e)\bullet x=0\bullet x=0,$$ qui nous dit ecah $x\in\Bbb R/\Bbb Z$ doit avoir au plus $k$-comme ordre additif, une contradiction, puisque $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$a des éléments de toutes les commandes. Par-dessus tout, l'addition représente$k$-times addition.

Ci-dessus, un cas particulier du fait. Si un groupe a des éléments de chaque ordre et que chaque élément a un ordre fini, alors il n'y a pas de structure annulaire unitaire sur le groupe.

Ce qui reste, c'est qu'il existe un anneau unitaire $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$ avec une multiplication $*$ tel que $*$-identité de $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$a un ordre additif infini? En d'autres termes,$*$-l'identité est de la forme $\alpha+\Bbb Z$ pour certains irrationnels $\alpha?$

Réponse à la deuxième question: Si$(\Bbb R/\Bbb Z,+,∗)$ étaient une bague avec unité $u$, puis depuis $\Bbb R/\Bbb Z$ est divisible il y aurait un élément $v$ tel que $v+v=u$, mais alors $\overline{1/2}=u∗\overline{1/2}=(v+v)∗\overline{1/2}=v∗(\overline{1/2}+\overline{1/2})=v*\overline 1=v*\overline 0=\overline 0$, une contradiction.