K-Théorie de $C^{*}(X)$

Question

Je suis nouveau dans K-Theory depuis $C^{*}$-algèbre et $C^{*}$-algèbre de groupes.

Si $X$ est le groupe des bijections de support fini des nombres naturels alors quelle est la K-Théorie de $C^{*}(X)$?

Je prévoyais de calculer $C^{*}(X)$ d'abord et ensuite ses projections et leurs classes d'homotopie mais je n'ai pas réussi à déterminer $C^{*}(X)$ en premier lieu.

Voici la définition du $C^{*}$-algèbre d'un groupe:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci beaucoup.

Answer 1

Le groupe que vous décrivez doit être le groupe symétrique infini $S_{\infty}$. le$K$-théorie de sa $C^*$-l'algèbre a été déterminée par Kerov et Vershik dans

Le K -foncteur (groupe de Grothendieck) du groupe symétrique infini https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Le résultat principal peut être résumé comme suit: Soit $\mathcal{A}$être l'anneau de polynômes symétriques en une infinité de variables. Ceci est isomorphe à$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, où $a_i$ est le $i$ème fonction symétrique élémentaire en un nombre infini d'arguments. ensuite$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ L'isomorphisme envoie la représentation irréductible $\pi_{\lambda}$ correspondant au diagramme de Young $\lambda$ à la fonction Schur correspondant à $\lambda$. C'est aussi un isomorphisme des anneaux, où la structure de l'anneau sur le côté gauche vient de l'observation que$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ et multiplie deux représentations $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ et $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ à $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ où $S_n \times S_m$ se trouve à l'intérieur $S_{n+m}$ avec $S_n$ permutant le premier $n$ éléments et $S_m$ permutant l'autre $m$.