l'anneau semi-simple implique un module semi-simple

Question

J'essaye de faire la partie b du problème ci-dessous.

J'ai déjà fait la partie a en utilisant la proposition et je veux juste vérifier si ma tentative pour b est correcte.

Laisser $M$ haricot $A$-module et comme l'indique le problème, je laisse $\mathcal{C}$ être la collection de tous les sous-modules de $M$c'est-à-dire semi-simple, partielle ordonnée par inclusion. Nous savons que cette collection n'est pas vide car nous pouvons choisir n'importe quel sous-module de$M$et en utilisant la partie a. Toute chaîne de cette collection a également une limite supérieure en prenant l'union de la chaîne. Par conséquent, d'après le lemme de Zorn, nous avons un sous-module$N$ maximal à la condition d'être semi-simple, donc $N = \oplus_{i \in I} S_i $ où $S_i$ est un sous-module simple.

Si $N = M$, alors nous avons terminé. Si$N \neq M$, alors nous pouvons choisir $m \in M \backslash N$. Depuis$ Am $ est fini, par la partie a, nous avons que $Am = \oplus_{j \in J} U_j$ où $U_j$sont simples. Depuis les deux$U_j$ et $S_i$ sont simples, soit $U_j \cap S_i = 0$ ou la $U_j$peuvent être identiques à certains des $S_i$, alors débarrassez-vous des répétitions pour obtenir $J^* \subseteq J$.

Finalement, $N \subsetneqq N + Am \subseteq N + (\oplus_{j \in J} U_j) = N \oplus (\oplus_{j \in J^*} U_j)$ ce dernier est semi-simple, contredisent la maximalité de $N$.

Mon argument ci-dessus est-il correct? Merci à tous.

Edit: Correction du commentaire de Rschwieb

Comme l'a souligné Rschwieb, la somme pourrait ne pas se croiser trivialement, comme je le pensais négligemment. Donc en recommençant de$Am = \oplus_{j \in J} U_j$ où $U_j$sont simples. Depuis$m \notin N$ et tout le $U_j$sont simples, il existe un $U_{\alpha}$ tel que $U_{\alpha} \cap N = 0$.
ensuite$N \subsetneqq N + U_{\alpha} = N \oplus U_{\alpha}$ et ce dernier est semi-simple, ce qui contredit la maximalité de $N$.

Answer 1

La plupart ont raison, mais la dernière ligne ne tient pas: même si le $U_j$ couper $N$les sommations de s trivialement, il n'y a aucune raison de dire que leur somme se croise $N$trivialement. Et le deuxième au dernier paragraphe est un peu spongieux sur la manipulation des sommations.

Par exemple, $\{(x,x)\mid x\in F\}$ intersecte trivialement $\{(0,x)\mid x\in F\}$ et $\{(x,0)\mid x\in F\}$, mais la somme des deux derniers ne coupe pas la première de manière triviale.

Quoi qu'il en soit, ce raisonnement supplémentaire n'est même pas nécessaire si vous connaissez l'exercice de base selon lequel les éléments suivants sont équivalents:

1. $M$ est une somme directe de modules simples
2. $M$ est une somme de modules simples

Pour cette raison, vous pouvez simplement conclure "alors $N+Am$est une somme de modules simples, donc semi-simples. Mais cela contredit la maximalité de$N$. Par conséquent$M=N$ en premier lieu. "

Alternativement, vous pouvez simplement utiliser un seul des$Am$de sous-modules pour dessiner une contradiction, car il est vrai qu'elle doit être contenue dans $N$ ou se croisent $N$trivialement. (De toute évidence, tous les$Am$Les facteurs de peuvent être contenus dans $N$.

Mais votre approche est en grande partie correcte.