L'intégration de $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Dec 31 2020

Je voulais intégrer $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Ce que je sais c'est que$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ où la somme est sur tout $2^{n-1}$ possible $\pm$.
Mais bien évidemment, cela est difficile à intégrer.
De là , j'ai appris la formule de Werner qui, à mon avis, est bien moins compliquée pour résoudre le problème ci-dessus. Mais je ne sais pas comment mettre cette formule pour un arbitraire$n$ pour le problème donné.

Merci de m'avoir aidé à l'avance.

Réponses

1 HenryLee Dec 31 2020 at 05:56

Votre question est: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ nous pourrions essayer d'utiliser le fait que: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ puis dites: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ cette première partie est assez simple à faire: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ maintenant le plus difficile est de calculer: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ et puis bien évidemment en intégrant quel que soit le résultat