L'unirationalité est-elle décidable?
Lorsque la réponse au problème de Lüroth est affirmative, le genre (pour les courbes) ou les critères de Castelnuovo (pour les surfaces séparablement unirationales) donnent des invariants calculables qui décident si une variété donnée est unirationnelle.
Je m'intéresse aux cas les plus simples où des exemples non rationnels sont connus: à savoir les surfaces sur $\overline{\mathbb{F}_p}$ et 3 fois $\mathbb{C}$.
Sait-on s'il existe un algorithme pour déterminer si une variété donnée du type ci-dessus est unirational?
Un espoir naïf serait de produire une borne sur le degré d'une carte rationnelle $\mathbb{P}^n \to X$ cependant cela est clairement impossible puisque les cartes rationnelles $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ ont un degré illimité.
La meilleure chose suivante serait de mettre une limite supérieure calculable sur le degré minimal d'une telle carte rationnelle. Ces limites sont-elles connues pour les deux cas que j'ai décrits ci-dessus? Ces limites sont-elles suffisantes, en principe, pour fournir un algorithme?
Réponses
C'est un problème largement étudié, et je pense qu'avec la technologie actuelle, il semble peu probable que l'on y réponde. Laissez-moi m'en tenir à la caractéristique$0$pour la simplicité; l'histoire devient beaucoup plus riche en caractéristiques positives (même si vous ajoutez l'adjectif «séparément» partout).
Les variétés unirationales sont rationnellement liées, ce qui implique à son tour $H^0(X,(\Omega_X^1)^{\otimes m}) = 0$ pour tous $m > 0$. Mumford a supposé que cette disparition implique à l'inverse que$X$est rationnellement lié, mais je pense que cette conjecture est peu connue. Au moins si vous croyez Mumford (et peut-être avec une limite sur laquelle$m$ vous devez essayer, analogue au critère de Castelnuovo), alors la connexité rationnelle devrait être quelque peu décidable.
Cependant, un problème ouvert bien connu est de savoir si chaque variété rationnellement connectée est unirational (je pense que les gens s'attendent à ce que ce soit faux - je le fais certainement). La raison pour laquelle nous ne pouvons pas répondre à cela est que nous n'avons aucun obstacle qui puisse faire la distinction entre les deux. Par conséquent, je pense qu'il est hautement improbable que nous puissions donner une caractérisation qui décide si une variété est unirational.
Je ne sais pas quel est le statut de l'unirationalité dans les familles, mais la rationalité (stable) n'est pas un invariant de déformation des variétés projectives lisses de Hassett – Pirutka – Tschinkel . Ainsi, des invariants discrets [c'est-à-dire localement constants dans les familles] comme la disparition de la cohomologie ne sont pas suffisants pour détecter une rationalité (stable), et il en va très probablement de même pour l'unirationalité.
Quant aux surfaces sur $\bar{\mathbf F}_p$, certaines surfaces K3 sont unirationales, mais la plupart ne le sont pas, donc encore une fois ce n'est pas un invariant de déformation. Shioda a supposé que si$X$ est une surface sur un champ algébriquement clos $k$ de caractéristique $p > 0$ avec $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) = 0$, ensuite $X$ est unirational si et seulement si $H^2_{\operatorname{cris}}(X/K)$ est supersingulaire, c'est-à-dire que toutes les pentes de Frobenius sont $1$. (C'est clairement une condition nécessaire, car$H^2_{\operatorname{cris}}(X/K) \hookrightarrow H^2_{\operatorname{cris}}(Y/K)$ est injectif et préserve les actions de Frobenius si $Y \twoheadrightarrow X$est une carte dominante de variétés projectives lisses; voir par exemple Prop. 1.2.4 dans l'article de Kleiman Algebraic cycles and the Weil conjecutres in Dix Exposés .)
Mais cela ne dit rien sur ce qui se passe si $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) \neq 0$, bien qu'il doive être fini et son ordre indivisible par $p$(voir par exemple cette note de Chambert-Loir ). Vous êtes donc censé d'abord calculer la couverture universelle, puis calculer les pentes - je ne sais pas s'il existe un moyen plus direct de le faire. En supposant la conjecture de Shioda, cela donne un critère.