La particule comme représentation irréductible
Je veux mieux comprendre le fait que la particule est une représentation irréductible. Cela signifie-t-il un type particulier de particules (disons$A$) est un sous-espace de l'espace de Hilbert "total" $H$ (qui contient tous les types?), et la restriction (à l'espace vectoriel $V_A$ correspond à une particule $A$) de la représentation du groupe de transformation de Lorentz (qui régit toute la transformation de tous les types de particules) qui n'a pas de sous-représentation appropriée.
Ou est-ce que l'espace reste toujours comme $H$ quel que soit le type de particule dont nous parlons, il s'agit simplement de choisir une représentation différente sur $H$, et des représentations différentes signifient des particules différentes? En un autre mot, je ne sais pas de quel espace vectoriel parlons-nous si nous disons particule$A$étant une représentation irréductible. est-ce le tout$H$? ou un sous-espace$V_A$? Parce que nous disons spin$\frac{1}{2}$ correspond à la représentation bidimensionnelle, je ne sais pas ce qui est bidimensionnel.
Réponses
Je pense qu'il est plus facile de comprendre cela de bas en haut. Supposons que vous ayez un vecteur dans un espace de Hilbert qui décrit un état où il n'y a qu'une seule particule dans un état de moment pur. Cette particule est décrite par un vecteur de moment et possède quelques degrés de liberté de spin interne. Si vous agissez sur ce vecteur avec des éléments du groupe Poincaré, vous obtiendrez de nouveaux vecteurs dans l'espace de Hilbert, décrivant les états dans lesquels la particule d'origine a été tournée, amplifiée et traduite. Si vous faites cela pour chaque élément du groupe Poincare, les vecteurs que vous obtenez couvriront un sous-espace de l'espace de Hilbert. Ce sous-espace va être une représentation irréductible. Il a tout ce dont vous avez besoin pour remplir une représentation, mais - si la particule n'a pas de sous-structure - il n'a rien d'autre. Vous ne pouvez pas changer la masse invariante en la boostant, ni modifier la rotation.
Cela correspond donc plus ou moins à votre option 1. L'irrep de Poincaré pour une particule donnée est un sous-espace de l'espace de Hilbert de tous les états.
Wigner s'est appuyé sur cette intuition et a classé toutes les représentations de masse unitaires, à énergie positive et discrète du groupe Poincaré. Pour des particules de spin massives$j$ en 4d, vous pouvez construire ces représentations en prenant la somme directe de tout un tas de copies du spin $j$ irrep de $SU(2)$(considéré comme la double couverture du groupe de rotation). La somme directe est sur tous les états d'impulsion avec une masse invariante donnée. Pour le spin$1/2$, la $SU(2)$ irrep est $2$-dimensionnel, mais le Poincare irrep est une somme d'une infinité de copies de celui-ci, une pour chaque vecteur d'élan que vous pouvez atteindre par les actions Poincare. Donc l'irrep de Poincaré est de dimension infinie.