La séquence de rayon implique qu'une fonction est harmonique

Question

Laisser $u \in C(\Omega),$ où $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$est ouvert. Si pour tous$x \in \Omega$ il existe une suite de rayon (positif) $\left\{r_{k}(x)\right\}_{k \in \mathbb{N}}$ tel que $\lim _{k \rightarrow \infty} r_{k}(x)=0$ et $$ u(x)=\dfrac{1}{n\omega_{n}r_k^{n-1}}\int_{\partial B(x,r_k(x))} u\quad\mathrm{dS} \quad \forall k \in \mathbb{N} $$ ensuite $u$ est harmonique.

Ma tentative: laissez $y \in \Omega$ et $R > 0$ tel que $\overline{B(y,R)} \subset \Omega.$ Laisser $v$une fonction harmonique telle que \ begin {array} {r} \ Delta v = 0 \ text {when} x \ in B (y, R) \\ v = u \ text {when} x \ in \ partial B (y , R) \ end {array} Supposons par contradiction que$v \neq u$ dans $\overline{B(y,R)}$ alors il existe $x \in \overline{B(y,R)}$ tel que $$(v-u)(x)>0$$ Rappeler que $v=u$ dans $\partial B(y,R)$ puis $x \in B(y,R).$Alors je suis coincé. De l'aide? Je pensais utiliser quelque chose comme le principe maximum mais je ne suis pas sûr, en effet je n'ai pas utilisé l'hypothèse sur le rayon ou la propriété de valeur moyenne.

Answer 1

Nous pouvons utiliser le corollaire corollaire 10 suivant (principe de comparaison). Laisser$\Omega$ être un ensemble ouvert limité, et laissez $u$ et $v$ être des éléments de $C^{2}(\Omega) \cap C(\bar{\Omega}) .$ Suppose que $\Delta u \geq \Delta v$ dans $\Omega$ et cela $u \leq v$ sur $\partial \Omega$. ensuite$u \leq v$ dans $\Omega$.

Mais nous avons besoin $u$ être un élément de $C^{2}(\Omega).$

Pour cela, nous utilisons le théorème: Soit$\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $u \in C(\Omega)$ être tel que $$\frac{1}{|B(x_0,R)|}\int_{B(x_0,R)}u(y)\ dy = u(x_0) = \frac{1}{|\partial B(x_0,R)|}\int_{\partial B(x_0,R)}u\ dS$$ pour chaque balle $\overline{B(x_0,R)} \subset \Omega$. ensuite$u \in C^{\infty}(\Omega)$ et c'est harmonique

Preuve: Considérez le mollifier standard:$$\rho(x) := \begin{cases}Ce^{-\frac{1}{1 - \|x\|^2}} & \text{if $\ | x \ |$ < 1} \\0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ Ici $C$ est une constante telle que $\|\rho\|_{L^1} = 1.$ Laisser $\epsilon > 0$ et considérer $$\rho_{\epsilon}(x) = \epsilon^{-N}\rho(x\epsilon^{-N}).$$ Ensemble $\Omega_{\epsilon} = \{x \in \Omega : \text{dist}(x,\partial \Omega) > \epsilon\}$ et définir pour $x \in \Omega_{\epsilon}$ $$u_{\epsilon}(x) = \rho_{\epsilon} * u(x) = \int_{\Omega}\rho_{\epsilon}(x - y)u(y)\ dy.$$Ce qui suit est un théorème d'analyse bien connu, s'il est nouveau pour vous, vous pouvez rechercher une analyse de preuve par Lieb and Loss ou n'importe où ailleurs.

** Théorème: ** Si$u \in C(\Omega)$, puis $u_{\epsilon} \to u$ uniformément sur des sous-ensembles compacts de $\Omega$, $u_{\epsilon} \in C^{\infty}(\Omega_{\epsilon})$ et pour tout multindex $\alpha$ nous avons $$\frac{\partial^{\alpha}u_{\epsilon}}{\partial x^{\alpha}}(x) = \int_{\Omega}\frac{\partial^{\alpha}\rho_{\epsilon}}{\partial x^{\alpha}}(x - y)u(y)\ dy.$$

Enfin nous pouvons procéder à la preuve!

Réparer $x_0 \in \Omega_{\epsilon}$. $$u_{\epsilon}(x_0) = \int_{B(x_0,\epsilon)}\rho_{\epsilon}(x - y)u(y)\ dy = \int_{B(0,\epsilon)}\rho_{\epsilon}(z)u(x_0 - z)\ dz = $$ $$ = \int_0^{\epsilon}r^{N - 1}\int_{\partial B(0,1)}\rho_{\epsilon}(rw)u(x_0 - rw)\ dS(w)dr = $$ $$ \int_0^{\epsilon}r^{N - 1}\rho(r)\int_{\partial B(0,1)}u(x_0 - rw)\ dS(w)dr = \int_0^{\epsilon}r^{N-1}\rho_{\epsilon}(r)\frac{\alpha_N N}{|\partial B(x_0,r)|}\int_{\partial B(x_0,r)}u(y)\ dS(y)dr $$ $$ = u(x_0)\|\rho\|_{L^1} = u(x_0).$$

Cela prouve que $u = u_{\epsilon}$ et donc $u \in C^{\infty}(\Omega_{\epsilon})$, pour chaque $\epsilon$.

Donc $u$ est harmonique.