Lancer 12 pièces de différentes valeurs en même temps

Question

Je jette $3$ dix sous, $4$ nickels, et $5$sous tous en même temps. Quelle est la chance que tous ceux qui atterrissent soient$30$ cents?

Cela provient d'une compétition chronométrée, les réponses les plus rapides sont les meilleures.

Ma réponse: le dénominateur devrait être $2^{12}$ puisque nous jetons $12$pièces de monnaie. Il y a$5$ cas d'obtention $30$ cents.

1. $3$ dix sous
2. $2$ dix sous, $2$ nickels
3. $2$ dix sous, $1$ nickels, $5$ centimes
4. $1$ dix sous, $4$ nickels
5. $1$ dix sous, $3$ nickels, $5$ centimes

Pour le n ° 1, il n'y a qu'une seule option

Pour le n ° 2, il y a $3\choose 2$ $\cdot$ $4\choose 2$ $= 18$, puisque nous choisissons $2$ hors de $3$ dix sous et $2$ hors de $4$ nickels.

Pour le n ° 3, ce serait $ 3 \cdot 4 = 12$, puisque nous choisissons $2$ hors de $3$ dix sous et $1$ hors de $4$ nickels.

Pour le n ° 4, ce serait $3$

Pour le n ° 5, ce serait $ 3 \cdot 4 = 12$.

Ma réponse finale est$\frac{46}{2^{12}}$

Je ne suis pas sûr que ce soit correct à 100%, et ce n'est certainement pas le moyen le plus rapide. Quelqu'un peut-il vérifier si j'ai raison, et sinon, me dire ce qui ne va pas? Des réponses plus rapides sont grandement appréciées.

Answer 1

Voyons si une simulation donne une approximation proche de votre réponse. Un million de parties du jeu devrait donner des probabilités précises à environ 2 ou 3 places.

set.seed(2020)
p = rbinom(10^6,5,.5)
n = 5*rbinom(10^6,4,.5)
d = 10*rbinom(10^7,3,.5)
t = p + n + d
mean(t == 30)
[1] 0.0111551    # aprx P(T = 30)
2*sd(t==30)/1000
[1] 0.0002100539 # 95% margin of sim error
46/2^12
[1] 0.01123047   # Your answer
mean(t >= 30)
[1] 0.4125161

Le résultat simulé $P(T = 30) = 0.0112\pm 0.0002$semble correspondre à votre réponse. Également,$P(T \ge 30) \approx 0.413.$

Voici un histogramme avec des probabilités simulées de la distribution de $T.$

hist(t, prob=T, br=(0:56)-.5, col="skyblue2")
abline(h=46/2^12, col="orange")

Remarque: Dans R, le vecteur ta un million de totaux. Le vecteur t==30est un vecteur logique d'un million de TRUEs et FALSEs. C'est meanla proportion de son TRUEs.