Le «dernier des as»

Question

Vous avez un jeu de 52 cartes parfaitement mélangé. Chaque fois que vous choisissez une carte du jeu. La carte piochée est remise dans le paquet et les 52 cartes sont à nouveau mélangées. Vous continuez cette procédure jusqu'à ce que vous ayez vu les quatre as différents. Quelle est la valeur attendue et l'écart type du nombre de fois que vous devez piocher une carte jusqu'à ce que vous ayez vu les quatre as différents?

De toute évidence, le problème est que je peux tirer le même as encore et encore, donc je devrais compter le nombre de cartes que je pioche entre les $k-1$e succès et le $k$e succès (c'est-à-dire, par exemple, les cartes tirées entre le troisième et le quatrième as, chacun différent de l'autre). Mais le fait que les as doivent être différents lié au fait qu'une fois tiré un as cet as est remis dans le deck implique qu'une fois que j'ai tiré le troisième as le «jeu» repart de zéro, donc je dois calculer le nombre d'essais (cartes tirées) nécessaires pour avoir le premier succès (c'est-à-dire dire le quatrième et dernier as pas encore vu).

Donc si $X_i=[$# cartes tirées avant le $i$e as$]$, nous avons ça $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.

Comment puis-je utiliser cela pour résoudre le problème? Merci d'avance pour votre aide.

Answer 1

Laisser $X$ dénote la variable aléatoire indiquant le nombre d'essais à obtenir $4$as. Nous pouvons diviser$X$ dans $4$ variables aléatoires séparées, que nous appellerons $X_1$ (le nombre d'essais pour tirer le premier as), $X_2$ (le nombre d'essais pour tirer le deuxième as après avoir tiré le premier), $X_3$ (le nombre d'essais pour tirer le troisième as après avoir tiré le deuxième) et $X_4$(le nombre d'essais pour tirer le quatrième as après avoir tiré le troisième). La distribution de probabilité des variables est la distribution géométrique. Pour une distribution géométrique, nous avons$E[Y]=\frac1p$ et $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.

La chance de tirer notre premier as dans un essai est $\frac4{52}=\frac1{13}$ alors $E[X_1]=13$ et $\text{Var}(X_1)=156$. La chance de tirer notre troisième as dans un essai est$\frac3{52}$ alors $E[X_2]=\frac{52}3$ et $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. La chance de tirer notre troisième as dans un essai est$\frac2{52}=\frac1{26}$ alors $E[X_3]=26$ et $\text{Var}(X_3)=650$. La chance de tirer notre troisième as dans un essai est$\frac1{52}$ alors $E[X_3]=52$ et $\text{Var}(X_4)=2652$.

Car $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ sont indépendants, nous pouvons directement ajouter les valeurs attendues et les variances pour obtenir la valeur attendue et la variance de $X$. Nous avons

$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$

et

$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$

Pour trouver l'écart type, nous prenons la racine carrée de la variance, c'est-à-dire:

$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$