Le postulat d'indiscernabilité

Question

Ce que l'on appelle souvent le postulat d'indiscernabilité s'exprime (au moins) de deux manières différentes selon le manuel.

Pour tout état composite normalisé de N particules identiques $|\psi \rangle$ dans $H^{N}$, et observable O sur$H^{N}$, et tout opérateur de permutation $P$ dans le groupe de permutation $S_{N}$,

1. $\langle \psi | O | \psi \rangle = \langle \psi |P^{\dagger}OP|\psi\rangle $. (C'est-à-dire,$[P, O] = 0$.)

OU ALORS

1. $\langle \psi|O| \psi \rangle = \langle P \psi |O | P \psi \rangle$.

Je suppose que 1 et 2 sont équivalents, c'est-à-dire que 1 est vrai si et seulement si 2 est vrai. Mais apparemment, ils disent deux choses différentes. 1 est une restriction sur laquelle les opérateurs peuvent représenter des observables, et 2 est une restriction sur les vecteurs pouvant représenter des états physiques. Comment montrer que 1 et 2 sont réellement équivalents?

De plus, y a-t-il une raison de préférer l'un à l'autre comme une meilleure articulation du postulat?

Answer 1

$$ | P \psi \rangle = P | \psi \rangle $$par définition. D'où$$ \langle P \psi | = \langle \psi | P^\dagger . $$ Donc $$ \langle P\psi|O| P\psi \rangle = \langle \psi | P^\dagger O P | \psi \rangle $$par définition. Autrement dit, la signification de la notation sur le côté gauche est donnée par l'expression sur le côté droit. Votre question ne concerne donc pas deux expressions différentes, mais deux manières d'écrire la même expression.