Les "éléments" d'un nombre réel

Question

Cette question est essentiellement une paraphrase d'une question distincte (supprimée), qui parle d'un commentaire d'Asaf Karagila sur les "éléments de$\pi$".

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Je sais comment les nombres naturels peuvent être considérés comme des ensembles , par exemple$3$peut être considéré comme l'ensemble$\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$, a donc des éléments$\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Cela semble assez concret et naturel.

Je peux voir que nous pouvons adapter cela pour traiter les nombres entiers, par exemple en ajoutant un deuxième ensemble vide en tant qu'élément "marqueur" (donc$-3$Correspond à$\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). Je vois aussi que nous pouvons adapter cette idée de "marqueur" pour traiter les nombres rationnels (qui sont des paires d'entiers, et nous "marquons" celui du haut et celui du bas d'une certaine manière). Cependant, je deviens déjà nerveux ici car cela semble beaucoup plus synthétique que la façon dont nous avons vu les nombres naturels.

En tous cas. Ce n'est pas clair pour moi comment un nombre comme$\pi$ou alors$e$peut avoir des éléments. Une façon pourrait être de considérer ces nombres comme des limites de séquences, et donc comme des listes de nombres rationnels. Cependant, cela semble suspect car ces nombres sont des limites de multiples séquences, donc cela ne me donne pas un ensemble canonique qui représente ces nombres, mais plutôt une famille d'ensembles. Est-ce OK ou mon raisonnement est-il cassé ?

Donc ce que je veux demander c'est :

Quels sont les éléments de$e$?

Ou, plus subtilement, cette question a-t-elle un sens, ou faut-il en supprimer le mot « le » ?

Answer 1

Quels sont les bits exacts de la chaîne qui est ma réponse ? Eh bien, cela dépend de la façon dont vous le codez. Est-ce un UTF-8, ou peut-être UTF-16, ou peut-être est-ce ASCII. Peut-être utilisez-vous un navigateur qui représente les chaînes comme des séquences à terminaison nulle, ou peut-être s'agit-il d'un type d'objet plus élaboré.

Le fait est que cette chaîne de texte que vous lisez en ce moment a une myriade de façons, toutes valables et toutes utiles à leur manière, de devenir une séquence de bits dans la mémoire de votre ordinateur.

De même, les nombres réels ne sont, comme la plupart des gens le pensent généralement, qu'une entité abstraite. Comme une chaîne de texte. La théorie des ensembles, et en fait toute fondation des mathématiques, implémente ces entités abstraites sous forme d'ensembles (ou autrement dans d'autres fondations). Quels sont les ensembles exacts qui sont les nombres réels ? Cela dépend de la façon dont vous les implémentez.

La route dite standard dans le cas des nombres réels et$\sf ZFC$(et ses théories des ensembles associées), serait :

1. Correction d'un encodage des paires ordonnées, généralement l'appariement de Kuratowski.
2. Utiliser$\omega$, le plus petit ordinal infini, pour modéliser les nombres naturels.
3. Définir$\Bbb Z$comme le quotient de$\omega\times\omega$de la manière algébrique.
4. Définir$\Bbb Q$comme le quotient de$\Bbb{Z\times Z}$de la manière algébrique.
5. Définir$\Bbb R$comme un achèvement de$\Bbb Q$, ce qui dans le cas de la théorie des ensembles est un peu plus naturel via les coupes de Dedekind.

Dans ce cas, les éléments de$e$, ou même tout nombre réel, sont des nombres rationnels plus petits que$e$. Mais quels sont les nombres rationnels ? Eh bien, ce sont des ensembles de paires d'entiers, qui sont eux-mêmes des ensembles de paires d'ordinaux finis, qui eux-mêmes ont une structure assez bien comprise.

Cependant, ce n'est pas la seule façon d'encoder les nombres réels. Nous pouvons choisir une manière différente de coder les paires ordonnées, ou nous pouvons utiliser la complétion de Cauchy en utilisant des classes d'équivalence de séquences de Cauchy de nombres rationnels. Nous pouvons encoder les entiers différemment, ou nous pouvons décider de passer de$\omega$aux nombres rationnels non négatifs, et seulement ensuite introduire les nombres négatifs.

Il existe de très nombreuses façons de coder un nombre réel en ensembles. En fait, nous pouvons simplement prendre n'importe quel ensemble de taille$2^{\aleph_0}$, exécutez "la route standard", puis utilisez une bijection pour effectuer cet encodage. Dans la théorie des ensembles, les nombres réels sont souvent considérés comme :

1. Sous-ensembles de$\omega$.
2. Fonctions de$\omega$pour$\omega$.
3. Fonctions de$\omega$pour$2$.
4. Une combinaison des ensembles ci-dessus.

Cela dépend du contexte. Tout comme la question de savoir si la chaîne que vous lisez est représentée d'une manière ou d'une autre dépend du navigateur que vous utilisez, du système d'exploitation que vous utilisez, etc.

Donc, à votre question, sont les éléments de$e$? Eh bien, cela dépend de quel ensemble est$e$.

Answer 2

Suivant Dedekind , modélisons chaque nombre réel comme un sous-ensemble approprié fermé vers le bas des rationnels sans plus grand élément. Puis$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$

Answer 3

Cela dépend de la façon dont vous définissez les nombres réels.

La méthode de séquence de Cauchy pour définir les réels est un peu plus compliquée que l'approche de Dedekind. Un nombre réel dans cette définition est une classe d'équivalence de séquences de Cauchy de nombres rationnels.

Cela signifie qu'un élément est une seule séquence de Cauchy$(x_n)_{n=1}^{\infty}$de nombres rationnels qui converge vers$e,$ou, moins cycliquement, étant donné :

$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$on a$(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$si$x_n-e_n\to 0.$

Answer 4

La construction standard déjà de$\Bbb Z$depuis$\Bbb N$est différent de votre idée ad hoc (qui est peut-être beaucoup plus maigre). Nous utiliserons beaucoup les paires et les relations d'équivalence en cours de route. Alors rappelez-vous que pour les paires, vous pouvez utiliser la définition de Kuratowski$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$Nous définissons comme ensemble de classes d'équivalence de paires de nombres naturels,$$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$où$$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$Et nous injectons$\Bbb N\to \Bbb Z$passant par$n\mapsto \overline{(n,0)}$. Avec ça,$0\in\Bbb Z$est l'ensemble$$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$et déjà beaucoup plus complexe que le$0=\emptyset\in\Bbb N$nous avions avant.

Ensuite, nous définirions généralement$\Bbb Q$comme classes d'équivalence de paires d'entiers,$$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$où cette fois$$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$Et nous injectons$\Bbb Z\to \Bbb Q$passant par$k\mapsto \overline{(k,1)}$.

Plusieurs façons d'accéder aux réels sont possibles. Je suggérerais des coupes Dedekind, mais à part dans le travail original de Dedekind (paires d'ensembles de rationnels), je suggérerais d'utiliser uniquement des ensembles uniques de rationnels (avec des propriétés spécifiques)$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$

Avec cela, les éléments de$\pi$sont simplement tous des nombres rationnels$<\pi$(par exemple$3$ou alors$\frac{22}7$ou alors$-42$). En particulier$0$est un tel élément, mais ce n'est pas$0=0_{\Bbb N}=\emptyset$, ni le$0_{\Bbb Z}$décrit dans$(1)$ci-dessus, mais la classe d'équivalence des fractions$\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.