Limite sous signe intégral avec intégration complexe

Question

J'ai révisé une analyse complexe et suis tombé sur le problème suivant:

Laisser $h(t)$ être une fonction à valeurs complexes sur l'intervalle unitaire et définir $$H(z) = \int_0^1\frac{h(t)}{t-z}dt, \quad z \in \mathbb{C}\setminus[0,1].$$ Montre CA $H$ est complexe différentiable.

Je pensais à quelque chose du genre

$$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{H(z)-H(z_0)}{z-z_0} = \lim_{z\rightarrow z_0}\frac{1}{z-z_0}\int_0^1h(t)\left(\frac{1}{t-z} - \frac{1}{t-z_0}\right)dt = \\ = -\lim_{z\rightarrow z_0}\int_0^1\frac{h(t)}{(t-z)(t-z_0)}dt = -\int_0^1\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{h(t)}{(t-z)(t-z_0)}dt = \\ = \int^1_0\frac{h(t)}{(t-z_0)^2}dt$$donc la limite existe et est continue. Cependant, je ne suis pas sûr de l'étape où la limite et l'intégrale sont échangées, car l'intégrale est complexe. Pour les intégrands réels, nous avons le théorème de convergence dominé et d'autres résultats. Cela vaut-il également pour les intégrands complexes, ou cette étape peut-elle être justifiée d'une autre manière?

Toute aide serait appréciée!

Answer 1

Si $h$ est telle que $d\nu=h(t)dt$définit une mesure complexe finie, alors la réponse est oui. Rudin le fait comme ceci:

$\tag1 \text{define}\quad \displaystyle F(z)=\int_0^1\frac{d\nu}{t-z}\quad \text{and let}\quad z_0\in \mathbb C\setminus [0,1]$

Nous pouvons trouver un $r>0$ tel que le ballon $B_r(z_0)\subseteq \mathbb C\setminus [0,1]$. Ensuite,$\left|\frac{z-z_0}{t-z_0}\right|<\frac{|z-z_0|}{r}<1$ dès que $z\in B_r(z_0).$ Réparer un tel $z.$

Maintenant,

$\tag2 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{(z-z_0)^{n+1}}{(t-z_0)^n}=(z-z_0)\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-z_0}{t-z_0}\right)^n=(z-z_0)\frac{1}{1-\left(\frac{z-z_0}{t-z_0}\right)}=\frac{1}{t-z}$

Et puisque la convergence est uniforme sur $[0,1]$, nous pouvons échanger sommation et intégration, après avoir substitué la somme à l'intégrale. Cela exprime$F$ dans $B_r(z_0)$ comme une série de puissance

$\tag3 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\quad \text{with} \quad a_n=\int_0^1\frac{d\nu}{(t-z_0)^{n+1}}$