localisation et profondeur

Question

Laisser $A$ être un anneau et $p$être un idéal primordial. Par des considérations élémentaires, nous avons que$\operatorname{depth}_p A_p \geq \operatorname{depth}_p A$. Est-il vrai que l'inverse est vrai si$p$ est maximal?

Cette question s'est posée alors que j'essayais de résoudre le problème III.3.5 de la géométrie algébrique de Hartshorne. Laisser$U$ être un sous-ensemble ouvert d'un schéma noéthérien et $p \in U$ un point fermé, c'est-à-dire $p$est un idéal maximal dans une ouverture affine. Dans ce problème, il faut caractériser l'extensibilité unique des sections de la gerbe de structure à partir de$U \setminus p$ à $U$ en termes de profondeur de l'anneau local à $p$.

Cette question est venue naturellement d'essayer de résoudre le problème ci-dessus.

Answer 1

Dans la notation de Bruns et Herzog, on sait que $\mathrm{grade}(\mathfrak p,A)\le\mathrm{depth}(A_{\mathfrak p})$ pour chaque idéal de premier ordre $\mathfrak p$car une séquence régulière reste régulière après la localisation.
En général, il n'est pas vrai que$\mathrm{grade}(\mathfrak p,A)=\mathrm{depth}(A_{\mathfrak p})$, et un contre-exemple est le suivant: $A=K[X,Y,Z]/(X^2,XY,XZ)$ et $\mathfrak p=(x,y)$, où $x$, respectivement $y$ désignent les classes de résidus de $X$, respectivement $Y$. Nous avons$\mathrm{grade}(\mathfrak p,A)=0$ puisque $x\mathfrak p=0$, et $\mathrm{depth}(A_{\mathfrak p})=1$.
Un tel phénomène se produit depuis$\mathfrak p$n'est pas un premier associé.
Pour les idéaux maximaux, cela ne peut pas arriver. Autrement dit, si$\mathfrak m$ est un idéal maximal avec $\mathrm{grade}(\mathfrak m,A)=0$, puis $\mathfrak m\in\mathrm{Ass}(A)$, Et ainsi $\mathfrak mA_{\mathfrak m}\in\mathrm{Ass}(A_{\mathfrak m})$ ce qui montre que $\mathrm{depth}(A_{\mathfrak m})=0$.
Cela conduit immédiatement à la conclusion que$\mathrm{grade}(\mathfrak m,A)=\mathrm{depth}(A_{\mathfrak m})$ pour chaque idéal maximal $\mathfrak m$.