Logique de prédicat et inférence

Question

Supposons que trois prédicats soient présentés ci-dessous:

$H(x)$: $x$ est un cheval

$A(x)$: $x$ est un animal

$T(x,y)$: $x$ est une queue de $y$

Ensuite, traduisez l'inférence suivante en une inférence à l'aide d'expressions logiques de prédicat et prouvez si l'inférence est valide ou non (par exemple, en utilisant la déduction naturelle):

Les chevaux sont des animaux.

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Les queues de chevaux sont des queues d'animaux.

Mes pensées: je suis assez bon pour traduire les expressions logiques de prédicat, mais ici j'ai eu du mal à trouver une formule pour les queues de chevaux. Mon idée initiale était de considérer une phrase similaire telle que "w est une queue de cheval" pour former l'inférence requise, mais cela n'a pas abouti. Serait le bienvenu pour entendre vos idées sur cette tâche.

Answer 1

Comme correctement suggéré dans lemontree's https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, "Les queues de chevaux sont des queues d'animaux" peut être formalisé comme $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ ou plus précisément, $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

Bien sûr, l'argument

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

est valable. Premièrement, je vous en donne une preuve informelle.

Nous voulons prouver que $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, sous l'hypothèse $\forall y (H(y) \to A(y) )$. Alors, fixons des individus arbitraires$x$ et $y$ et supposons que $H(y) \land T(x,y)$, nous devons montrer que $A(y) \land T(x,y)$. Depuis par hypothèse$\forall y (H(y) \to A(y) )$, Par conséquent $H(y) \to A(y)$ tient pour le particulier $y$nous avons choisi. De plus, nous supposons que$H(y) \land T(x,y)$ et en particulier $H(y)$tient. Par modus ponens , de$H(y) \to A(y)$ et $H(y)$ il s'ensuit que $A(y)$. Aussi, puisque nous supposons que$H(y) \land T(x,y)$, en particulier $T(x,y)$tient. Donc,$A(y) \land T(x,y)$. Par conséquent, nous avons prouvé que, pour arbitraire$x$ et $y$, si $H(y) \land T(x,y)$ puis $A(y) \land T(x,y)$. Donc,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ tient, sous l'hypothèse $\forall y (H(y) \to A(y))$.

Vous pouvez formaliser cette preuve en déduction naturelle comme suit:

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

Answer 2

Astuces:

"$x$ est un $P$'s tail "signifie que $x$ est une queue de $y$ et $y$ est un $P$.

"Les queues de chevaux sont des queues d'animaux" signifie que pour toutes les queues $x$ et porteurs de queue $y$, la queue étant la queue d'un cheval implique que la queue soit la queue d'un animal (où pour "être un $P$'s tail "insérer la définition ci-dessus).

Avec la formalisation appropriée de cette paraphrase, il est possible de trouver une preuve formelle de l'inférence.