$\mathbb{P}(X>Y)$ et distribution uniforme

Question

Je ne comprends pas pourquoi, pour un triangle défini sur $(0,0)$,$(0,2)$ et $(2,0)$ et une densité de joint $f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}$, J'obtiens:

• $\mathbb{P}(X>Y)=f_{XY}(x,y)\cdot($aire du triangle $(0,0)$,$(2,0)$ et $(1,1))=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(X>Y)=\int_{0}^{2}[\int_{0}^{2-x}f_{XY}(x,y)\operatorname{dy}]\operatorname{dx}=1$

Où ai-je tort si nous avons $0<y<x<2$?

Merci d'avance pour toute clarification.

Answer 1

Où ai-je tort si nous avons 0 <y <x <2?

Comme je vous l'ai dit, en tout cas un dessin peut aider

Votre but est d'intégrer le joint denisty sur le triangle violet. Dans ce cas, le meilleur ordre d'intégration est "Y-simple"

$$\mathbb{P}[X>Y]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}dx=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Vous avez besoin $y$ être inférieur à $x$ et moins de $2-x$, ou en d'autres termes $y< \min(x,2-x)$. L'intégrale correcte est donc \ begin {align *} \ mathbb {P} (X> Y) & = \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ min (x, 2-x)} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ xf (x, y) \: dy \: dx + \ int_1 ^ 2 \ int_0 ^ {2-x} f (x, y) \: dy \: dx \\ & = \ int_0 ^ 1 \ frac {x} {2} \: dx + \ int_1 ^ 2 \ frac {2-x} {2} \: dx \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align *}