Mean Reverting Heston Model?

Question

Existe-t-il un nom pour une variation du modèle de processus stochastique de Heston où non seulement la volatilité sous-jacente, mais le prix de l'actif lui-même, est en train de revenir à la moyenne? Je cherche à modéliser les rendements des indices boursiers à long terme, ce qui, selon moi, montre à la fois le retour de la moyenne de la volatilité et le retour de la moyenne des prix des actifs. De toute évidence, lorsqu'un tel indice boursier peut être considéré comme un retour moyen (au moins approximatif) vers une volatilité fixe à long terme, il revient également au prix des actifs attendu par les rendements composés annualisés (environ 7% en termes réels pour le SP500).

Autant que je sache, le modèle Heston ne fait rien pour expliquer le deuxième comportement. Comment modifierait-on le modèle pour tenir compte de cela?

Edit: j'ai essayé de considérer le modèle suivant. Des pensées à ce sujet?

$dS_t = \sqrt{v_t}S_tdB_t^{(1)} + a_1(\mu_t - S_t)$

Où $u_t := \mathbb{E}[S_t]$ est l'équilibre attendu au temps t selon la composition annualisée attendue, $a_1$ est la vitesse de retour à la moyenne pour le prix, $B_t^{(1)}$ est un mouvement brownien unidimensionnel, et $v_t$ est le processus de variance $\{v_t, t\geq 0\}$ tel que défini avec:

$dv_t = \sigma\sqrt{v_t}dB_t^{(2)} + a_2(v_t - \nu)$

Où, à son tour, $\sigma$ est le vol constant de vol, $B_t^{(2)}$ est le mouvement brownien unidimensionnel corrélé à $B_t^{(1)}$ par $Cov(B_t^{(1)},B_t^{(2)})=\rho$, $a_2$ est la vitesse de retour à la moyenne pour la volatilité, et $\nu$ est la moyenne à long terme de la volatilité.

Answer 1

Dans le modèle Heston, le prix de l'actif sous-jacent $S_t$ suit un processus stochastique similaire au mouvement brownien géométrique, mais avec une volatilité stochastique, $\sigma_t$, à savoir.

$$\tag{*}dS_t = \mu S_t \, dt + \sigma_t S_t \, dW_{S,t},$$

où variance $\sigma_t^2$ suit un processus de retour à la moyenne

$$d \sigma_t^2 = \kappa(\theta - \sigma_t^2) \, dt + \beta \sigma_t\, dW_{\sigma,t}$$

Indépendamment du retour à la moyenne de la volatilité, le processus (*) conduira à un comportement à long terme extrêmement irréaliste qui n'est jamais observé avec les indices actions réels. Par exemple, la simulation de Monte Carlo générera de nombreux chemins où (malgré une dérive positive) il peut y avoir un crash et aucune récupération pendant la durée de la période de simulation.

Une meilleure alternative est un modèle de réversion moyenne de tendance, tel que

$$d (\log S_t - \mu t) = -\alpha(\log S_t- \mu t ) \, dt + \sigma_t dW_{S,t}, $$

où le log-prix est ramené à une tendance stable à un taux qui est proportionnel à l'écart par rapport à la tendance. Vous pourriez utiliser$\mu \approx 0.07$ pour votre but.