Mince à n'importe quelle taille?

Question

Rappelons de cette question que nous appelons un entier positif slimdownable ou slim pour faire court s'il fait partie d'une suite d'entiers où chacun est suivi par lui-même divisé par sa longueur , c'est-à-dire son nombre de chiffres. En particulier, chacun doit être divisible par sa longueur et la séquence tombera jusqu'à ce qu'elle atteigne un nombre à un chiffre.

Exemples:

108: mince parce que $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$

78: pas mince parce que $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$

Prouvez ou réfutez cela pour tout entier positif $n$ il existe un petit nombre avec $n$ chiffres.

Remarque: vous pouvez utiliser un ordinateur pour produire un contre-exemple ou, par exemple, pour compléter un résultat asymptotique, ou tout ce qui vous convient. Si vous choisissez de le faire, afin de valider votre code, veuillez répondre aux questions de test suivantes:

Y a-t-il des solutions avec $11111$chiffres? Si oui: combien? Quels sont les 10 premiers chiffres de leur médiane?
Pour chaque$n$ entre $1$ et $11111$ calculer le nombre de solutions avec $n$chiffres. Quel est le plus grand nombre?

Voici un cas de test que vous pouvez utiliser pour vérifier rapidement la cohérence de votre code:

À 3590 chiffres, il existe quatre solutions. Ils mincissent tous à$6$. Les dix premiers chiffres de ces nombres sont «3159252337 ...», «3735860235 ...», «4606981484 ...», «6706597705 ...».

Answer 1

Conclusion:

Pour toute $n$-digit number, il ne peut pas exister de nombre slim pour tout entier positif $n$.

Raisonnement:

Pour tous $n$, il doit y avoir un multiple de $n$ C'est $n$-digits de long.

Appelons notre $n$-nombre Digital $Z$.
Tenez compte du fait que dans$10^{ceil(log(n))}$ - appelons ça $a$, il doit y avoir $a/n$ multiples de $n$. Cela permet de suivre le processus de minceur.
Regardons en arrière$Z$. Par les 2 étapes précédentes, à condition de choisir le bon$Z$, il y aura au moins un numéro $y$ de longueur $(n-a)$ ou $(n-a+1)$ où $y = Z/n$ et peut être exprimé avec un nouveau $Z$ pour répéter le processus.

Je suis maintenant l'heureux propriétaire d'une feuille de calcul Excel qui a généré de nouvelles valeurs à partir de 5-9 (puisque 1-4 ne peut pas générer un nombre à 2 chiffres) et se terminant là où Excel rencontre une erreur #Value.

L'image ci-dessous est dans l'ordre décroissant (9 à 5)

Ce qui me ronge est grand $n$.

Pour $n$ = 1 milliard, je ne peux pas garantir qu'il y aura un nombre mince pour $n$entre 1 milliard - 1 et 1 milliard - 9, d'autant plus que je n'ai que 5 chemins de départ.
Et comme l'écart ne deviendrait de plus en plus large à mesure que$n\rightarrow\infty$, il ne peut pas y avoir de nombre mince pour tous les nombres entiers positifs$n$.

par exemple pour$n$ = $1E1,000,000$, ma division ferait chuter le premier nombre de 6 places, et je pourrais peut-être remplir l'écart avec seulement 5 chemins déterministes, mais finalement, il ne serait pas comblé.