minimisation de l'intégrale de la fonction multi-variable

Question

Laisser $\alpha \in (0,1) $ être un paramètre que nous pouvons choisir et $Y$ être une variable aléatoire (par exemple la distribution normale standard), alors nous pouvons définir une fonction comme ci-dessous (où $v,e < 0$ sont deux variables):

$S(Y,v,e; \alpha) = -\frac{1}{\alpha e}\cdot(v-Y) \cdot \mathbf{1}_{(Y \le v)} + \frac{v}{e} - log(-e) - 1 $

Si nous minimisons la valeur attendue par rapport à $v$ et $e$, nous devrions obtenir

$$ v=\Phi^{-1}_Y(\alpha)$$

et

$$ e = \frac{1}{\alpha}*\phi_Y( \Phi^{-1}_Y(\alpha) ) $$

Answer 1

Commençons par obtenir une expression analytique pour $E_Y[S]$ avec $Y \sim \mathcal{N}(0,1)$: \begin{align} E_Y[S] &= -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\alpha e} (v - y) \mathbf{1}_{\{ y \leq v\}} \exp(-\frac{1}{2} y^2)dy + \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \\ &= -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{v} \frac{1}{\alpha e} (v - y) \exp(-\frac{1}{2} y^2)dy + \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \\ & = -\frac{v}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{v} \frac{1}{\alpha e}\exp(-\frac{1}{2} y^2)dy +\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{v} \frac{y}{\alpha e}\exp(-\frac{1}{2} y^2)dy + \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \\ &= \frac{-v}{ \alpha e} \Phi_Y(v) - \frac{1}{\alpha e \sqrt{2\pi}}\exp(-v^2/2)+ \frac{v}{e} - \log(-e) -1 \end{align}

Nous sommes maintenant prêts à obtenir votre première équation: \begin{align} \frac{\delta}{\delta v} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] &= -\frac{1}{\alpha e} \left( \Phi_Y(v) + \frac{v}{\sqrt{2\pi}}\exp(-v^2 / 2) \right) + \frac{v}{\alpha e \sqrt{2 \pi}} \exp(-v^2 / 2)+\frac{1}{e}\\ &= -\frac{1}{\alpha e} \Phi_Y(v) + \frac{1}{e} \end{align}

En calculant $\frac{\delta}{\delta v} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] = 0$ nous obtenons le résultat.

Pour la deuxième équation:

\begin{align} \frac{\delta}{\delta e} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] &= \frac{v}{\alpha e^2} \Phi_Y(v) + \frac{1}{\alpha e^2 \sqrt{2\pi}}\exp(-v^2/2) - \frac{v}{e^2} - \frac{1}{e} \end{align}

Nous écrivons $\frac{\delta}{\delta e} E[ S(Y,v,e; \alpha) ] =0$pour obtenir: \ begin {equation} e = \ frac {v} {\ alpha} \ Phi_Y (v) + \ frac {1} {\ alpha} \ phi_Y (v) - v \ end {equation}

Pour conclure, nous utilisons l'optimun de $v = \Phi_Y^{-1}(\alpha)$ trouvé dans la première équation et le fait que $\Phi_Y(\Phi_Y^{-1}(\alpha)) = \alpha$ obtenir:

\ begin {équation} e = \ frac {v} {\ alpha} \ alpha + \ frac {1} {\ alpha} \ phi_Y (v) - v = \ frac {1} {\ alpha} \ phi_Y (\ Phi_Y ^ {- 1} (\ alpha)) \ end {équation}

Ce n'est pas exactement ce que vous demandez, mais je pense que c'est juste; Je ne trouve aucune faute de frappe dans ma procédure. Peut-être le$\frac{1}{1-\alpha}$ c'est juste $\frac{1}{\alpha}$ dans votre question.