Monomorphismes entre graphes infinis

Question

Je suis vraiment curieux de connaître cette question:

Laisser $G(V_G,E_G)$ et $H(V_H,E_H)$ être des graphes infinis (infinis !, non finis), tels que $$|V_G|=|V_H|,$$ et laissez $f$, $g$ être des fonctions $f: G\rightarrow H$, $g: H\rightarrow G$ tel que $$\text{$F$ and $g$ are monomorphisms}.$$

D'après les informations données, est-il vrai de dire que $G$ et $H$ sont isomorphes?

À partir des informations données, $G$ est isomorphe à un sous-graphe de $H$, et $H$ est isomorphe à un sous-graphe de $G$. Si$f$ ou $g$ n'est pas un isomorphisme, alors $G$ est un sous-graphe propre de lui-même et $H$est un sous-graphe approprié de lui-même. Cela ne semble pas créer de contradiction.

Answer 1

Non, par exemple, laissez $G$ être un graphe complet sur un ensemble infini et soit $H$ être une union disjointe de $G$et un autre sommet. Ensuite, il y a un monomorphisme évident$G\to H$, et il y a aussi un monomorphisme $H\to G$ (juste prendre n'importe quelle injection sur les sommets, et c'est automatiquement un homomorphisme puisque $G$est complet). cependant,$G$ et $H$ ne sont pas isomorphes.