Montre CA $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ où $V_\lambda$ est le module Specht et $U$ est la représentation par signe de $S_n$.

Question

Il s'agit de l'exercice 4.4 (c) de la théorie des représentations de Fulton / Harris. La plupart des définitions se trouvent ici:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. Laisser$\lambda \vdash n$. Le module Specht$V_\lambda$ est la représentation irréductible de $S_n$ défini via l'image $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ de $c_\lambda$ est $\mathbb{C}[S_n]$ où $c_\lambda$est le jeune symétriseur. Je veux montrer ça$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ où $U$ est la représentation du signe et $\lambda'$ est la partition de $n$ conjuguer à $\lambda$. En tant que sous-module de l'algèbre de groupe$\mathbb{C}[S_n]$, nous avons $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

Quelqu'un peut-il m'aider à le montrer? J'ai besoin de définir un$\mathbb{C}[S_n]$isomorphisme du module mais je ne comprends pas vraiment à quoi ressemblent les éléments du module Specht. J'ai vu une preuve utilisant des polytabloïdes, par exemple chez James, mais j'essaie plutôt de comprendre la construction des modules de Specht comme des sous-modules de l'algèbre de groupe.

Answer 1

Laisser $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ être la carte linéaire qui envoie une permutation $\sigma$ à ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. C'est un automorphisme algébrique de$\mathbb{C}[S_n]$ qui cartographie le module Specht pour $\lambda$ à ça pour la transposer $\lambda'$. Indice: est-ce que cette carte$S_n$-équivariant? Sinon, comment pouvez-vous corriger cela?

Answer 2

Suivant l'allusion d'Abdelmalek Abdesselam, définissez d'abord $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ via $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$et extension linéaire. C'est un automorphisme d'algèbre qui cartographie$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Pour tous$\pi,\sigma \in S_n$, nous avons \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Maintenant, définissez une carte $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ via $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$et extension linéaire. Le codomain est correct puisque$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Cette carte est$S_n$-équivariant puisque pour tout $\pi,\tau \in S_n$ et $u\in U$nous avons \ begin {align *} \ rho (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & (\ text {def. of$S_n$-action sur le produit tensoriel interne}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {depuis $U$ est la représentation du signe}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. of $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {align *}