Montrer que 3 points sont alignés

Question

Laisser $ABCD$ être un quadrilatère dans $\mathbb{A}^2$ et appelez l'intersection de $AB$ et $CD$ : $E$ puis celui de $AD$ et $BC$ : $F$. Laisser$G$ et $H$ deux points tels que $ABGD$ est un parallélogramme et $AEHF$ aussi.

Je veux montrer ça $C,G,H$ sont alignés.

J'ai donc défini le système de coordonnées affines $(A, E, F)$. Puis j'ai travaillé$GH$ en utilisant la paramétrisation $\forall t \in \mathbb{R}, ~tG+(1-t)H$. Une chose facile que j'ai trouvée est$G=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=D+B-A$ donc $G$ne dépend que des points avec au moins une coordonnée nulle. Ici mon objectif est de montrer que$C$ est sur $GH$ en trouvant les coordonnées de $C$ cela ne dépend que de $B$ et $D$ mais je ne vois pas comment faire ça.

Answer 1

Nous pouvons utiliser des coordonnées obliques pour les axes AB et AC (comme vous avez implicitement commencé à le faire):

Résolution du système linéaire

$$\begin{cases}\text{Line BF:} \ &\dfrac{x}{b}+\dfrac{y}{f}&=&1\\ \text{Line DE:} \ &\dfrac{x}{e}+\dfrac{y}{d}&=&1\end{cases}$$

donne les coordonnées de leur point d'intersection:

$$C(u,v)=\left(\dfrac{be(f-d)}{ef-bd};\dfrac{df(e-b)}{ef-bd}\right).$$

Il reste à utiliser les critères classiques d'alignement de 3 points $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ lequel est

$$\begin{vmatrix}x_1& x_2 &x_3\\ y_1& y_2 &y_3\\ 1& 1 &1\end{vmatrix}=0$$

Ici ça devient $$\begin{vmatrix}b& e &(be(f-d))\\ d &f& (df(e-b))\\ 1& 1 &(ef-bd)\end{vmatrix} \ \ \text{which is indeed} \ \ 0.$$

Answer 2

Laissez l'intersection de $DG$ avec $CF$ être $F'$, intersection de $BG$ avec $CE$ être $E'$.

Puis par triangle similaire, nous avons $\frac {CF'}{CD}=\frac {CB}{CE}$, puis $\frac {CF'}{CF}=\frac {CB\cdot CD}{CF\cdot CE}$.

De même, $\frac {CE'}{CE}=\frac {CB\cdot CD}{CF\cdot CE}$, puis $\frac {CF'}{CF}=\frac {CE'}{CE}$, montrant que le quadrilatère $CE'GF'$ et $CEHF$ sont similaires.